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taciones por grupos de elementos, á saber: por una cuater- 

 na proyectiva con otra dada, y, en particular, por una cua- 

 terna armónica, en el sistema de Staudt; por un ciclo, ó si se- 

 quiere, por dos puntos, en el de Klein; y por una cuaterna, 

 ó si se quiere, por una terna, en el de Amodeo; mas en todos 

 ellos la teoría de las figuras de primera categoría, considera- 

 das como conjuntos de elementos complejos, conduce á un 

 cálculo con segmentos proyectivos de primera y segunda 

 especie, estudio que no está hecho de una manera comple- 

 ta y al que pueden dirigirse los esfuerzos de los geómetras; 

 2°, la conocida representación plana de Gauss, que repre- 

 senta cada rayo de un haz de rectas de plano real y vértice 

 imaginario (á cuyo caso pueden reducirse los demás) por un 

 punto real del plano de representación; S.*^, la representa- 

 ción de Riemann, que no es mas que una proyección estereo- 

 gráfica de la representación anterior, sobre una cuádrica que 

 pasa por el vértice del haz, desde el punto de contacto de 

 uno de los pianos tangentes trazados por el rayo real del 

 citado haz, cuádrica que es una esfera cuando el vértice es 

 un punto circular del plano; 4.°, la representación de Staudt, 

 que se refiere á un haz de planos cuya arista es de segunda 

 especie, en la que los planos del haz vienen representados 

 por la congruencia constituida por las directrices ó rectas 

 dobles del sistema involutivo que define la arista, y del que 

 resulta el procedimiento de Gauss por una sección plana; y 

 5.", lo que el autor llama representación circular, en la cual. 

 se refieren las figuras á una cónica y se toma como repre- 

 sentante de cada dos puntos imaginarios conjugados al 

 centro de la involución, con lo que todos estos puntos están 

 representados por los puntos interiores, así como los reales 

 por los exteriores; y para distinguir uno de otro los dos pun- 

 tos imaginarios conjugados se utiliza la idea de Klein, de 

 considerar el plano de dos hojas. Finalmente, se aplican es- 

 tos diversos procedimientos al caso de una serie rectilínea 

 de base real, proyectándola desde un punto imaginario; re- 



