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presentación que cuando este punto es uno de los circulares 

 (hipótesis euclidiana) conduce á la conocida representación 

 geométrica de Argand, de los números complejos. 



Una vez definidos los elementos complejos, en el capítulo 

 octavo estudia el autor la proyectividad compleja en las 

 figuras fundamentales. Dedica el art. 1,° al estudio de la pro- 

 yectividad real, examinando el caso particular en que son 

 homólogos dos elementos imaginarios conjugados, en el 

 cual la proyectividad es una involución hiperbólica. Exami- 

 na después la relación existente entre las diversas represen- 

 taciones establecidas, ó sea en la circular, esférica y plana, 

 probando que una proyectividad real conduce: 1.°, á una 

 homografía en las representaciones circulares sobre las có- 

 nicas cp y cp', definida por la proyectividad existente entre las 

 dos series situadas en estas curvas, y que esta proyectividad 

 es una homología ó simetría proyectiva en el caso de ser in- 

 volutiva la proyectividad dada; 2.°,á una homografía entre las 

 dos cuádricas fundamentales, y, por tanto, entre dos figuras 

 en el espacio E^ en las representaciones esféricas; y 3.°, á 

 una correspondencia cuadrática conforme ó á una colinea- 

 ción en las representaciones planas, verificándose la segun- 

 da circunstancia ó la primera, según que sean ó no homólo- 

 gos los puntos de intersección de la base de las proyectivi- 

 dades con las rectas reales que pasan por los centros de 

 proyección respectivos. Es objeto del art. 2.° el estudio de 

 lo que Staudt denominó cadenas de elementos, ó sea el con- 

 junto de los elementos de una figura fundamental, que co- 

 rresponden á los puntos de una cónica en la representación 

 de Rieman, á los rayos de un haz alabeado de segundo or- 

 den en la representación de Staudt, á los puntos de una có- 

 nica que pasa por los puntos fundamentales en la de 

 Gauss, y á los de una cónica bitangente á la fundamental en 

 la representación circular. Y como cuando la base de la 

 figura de primera categoría considerada es real interviene 

 para su representación real un elemento extraño, á saber: el 



