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par de puntos fundamentales en la representación plana, la 

 cuádrica fundamental en la esférica y las dos rectas conju- 

 gadas de segunda especie en la de Staudt, se hace preciso 

 probar que la cadena es independiente del elemento auxi- 

 liar empleado, cosa que efectúa el autor concretándose á la 

 representación plana. Y examina, por último, las cuaternas 

 armónicas constituidas por elementos imaginarios pertene- 

 cientes á una misma cadena. 



De verdadero interés y de importancia suma es el art. 3.", 

 pues al tratar de generalizar la definición de proyectividad 

 dada por Staudt á las figuras de elementos complejos, con- 

 sidera el caso en que, además de ser biunívoca la correspon- 

 dencia, se correspondan las cadenas, en cuyo caso también 

 se corresponderán las figuras armónicas, presentándose ca- 

 sos esencialmente distintos, señalados por vez primera por 

 Sagre, y que este ilustre geómetra designó con los nombres 

 de proyectividad y antiproyectividad, con lo cual cierra el 

 período de la discusión sostenida durante tanto tiempo 

 acerca de si basta ó no con ser biunívoca la corresponden- 

 cia para afirmar que ésta sea una proyectividad. En efecto; 

 utilizando el autor de la Memoria la representación esfé- 

 rica ó la plana, demuestra que toda correspondencia biuní- 

 voca entre dos figuras complejas de primera categoría, que 

 transforma las cadenas en cadenas, es conforme, y la proyec- 

 tividad y antiproyectividad corresponde al caso de ser di- 

 recta ó inversa esta última correspondencia. Estudia des- 

 pués las propiedades más importantes de una y otra, pro- 

 bando que la primera goza de todas las propiedades de la 

 proyectividad real, y que á la segunda sólo algunas de ellas 

 pueden aplicarse, existiendo, por otra parte, diferencias im- 

 portantes entre una y otra, como la que se deduce al consi- 

 derar los elementos dobles; pues mientras en la proyectivi- 

 dad, si existen tres, lo son todos, en la antiproyectividad, al 

 ser dobles tres, lo son los infinitos de una cadena, y sólo 

 ellos y los elementos homólogos se corresponden doble- 



