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analíticas, ó si se quiere observando que los cosenos del 

 eje de torbellino son 



I A ^ 



V/|2 + -^2 ^ -2 ' y/|2_^,^2_^^2 ' \/|2^^^2,+ j;2 ' 



y dicho eje y la normal á la superficie son evidentemente 

 perpendiculares. 



Segundo. Del mismo modo se demuestra que son per- 

 pendiculares el eje del torbellino y la velocidad paralela á 

 la superficie 5 en el mismo punto á que el torbellino se re- 

 fiere. 



Para demostrarlo basta multiplicar los mismos tres valo° 

 res de I, 'o, ? por u^, v^, w^ y sumar los resultados. Halla- 

 remos: 



Lo mismo que antes el segundo miembro se anula y 

 queda 



I «1 4- '0 1^1 + ^ w, = 0. 



Pero 'E, Ti, s son proporcionales á los cosenos de los án- 

 gulos que forma el eje del torbellino con los ejes coordena- 

 dos, y u^, v^, Wi son, á su vez, proporcionales á los ángulos 

 que la velocidad paralela á la pared 5 y en el punto para 

 el cual hemos considerado el torbellino, forma con dichos 

 ejes coordenados. 



Luego la última expresión demuestra que el coseno de 

 ambas líneas es nulo, es decir, que son perpendiculares; 

 luego en todos los puntos de la superficie 5 son perpendi- 

 culares el torbellino y la velocidad. 



Tercero. Esta observación tiene mucha importancia; 

 pero quita, una parte de su fuerza práctica á la solución que 

 acabamos de dar. 



