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En efecto; las tres condiciones (A) son, según se sabe, 

 las condiciones necesarias y suficientes para que 



A (x, y, z)dx^ B (x, y,z)dy + C{x,y,z) dz, 



ó abreviadamente 



Adx + Bdy + Cdz, 



sea una diferencial exacta de x,y, z. 



Verificadas las condiciones (yl), sean cuales fueren A,B, C, 

 se podrá integrar la expresión anterior por cuadraturas, y la 

 integral será una función perfectamente determinada en 

 cada easo: (v{x,y, z); de modo que tendremos: 



Adx -^ Bdy -\^- Cdz = d^, 



representando el segundo miembro una diferencial total. 

 Pues desarrollando este segundo miembro 



Adx + B3yJ^ Cdz = -—^dx-^, ^dy -\ ^dz, 



d X Sy d z 



de donde 



3cp acp Scp 



A=—^, B = —^, C = 



dx dy dz 



como habíamos dicho. 



Y esto para todas las soluciones del sistema (A). 



Podrá haber muchas soluciones que satisfagan á las tres 

 ecuaciones (.4) 



A, B, C, 



A', B', C\ 



A",B",C", 



pero todas cumpHrán con la condición indicada; siempre las 

 tres funciones serán las derivadas, con relación á x, y, z, de 

 una función cp. 



