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XXIII.— Sur les eongrueiices linéaires de quintiques 

 gauches rationnelles. 



Par Lucien Godeaux. 



M. Enriques (*) a demontre que, étant donnée une con- 

 gruence linéaire de courbes gauches rationnelles d'ordre im- 

 pair, on peut toujours trouver une transformation biration- 

 nelle de l'espace transformant la congruence donnée en une 

 congruence linéaire de droites. Dans certains cas, ce théo- 

 réme peut étre demontre d'une fagon plus élémentaire; c'est 

 ce qui a lieu notamment lorsqu'il s'agit d'une congruence li- 

 néaire de quintiques gauches rationnelles; c'est ce que nous 

 nous proposons de démontrer dans cette note. 



1. — Soit S une congruence linéaire de quintiques gauches 

 rationnelles de premiére espéce (**), C. Les courbes C de H 

 découpent, sur un plan arbitraire, une involution d'ordre 

 cinq qui, d'aprés un théoréme de M. Castelnuovo (***), est- 

 rationnelle. On en déduit que: 



La congruence '^ est rationnelle. 



2.— Considérons une congruence linéaire de droites G. 

 Cette congruence est rationnelle et on peut, done, établir 

 une correspondance birationnelle K entre les congruen- 

 ces G et S. 



(*) Math. Amalen, 1895. 



(**) On sait qu'il y a deux espéces de courbes gauches rationnel- 

 les d'ordre cinq: celles de premiére espéce sont situées sur des sur 

 faces cubiques et ne peuvent étre situées sur des quadriques; une 

 quintique rationnelle de seconde espéce est située sur une quadrique 

 et admet une infinité de quadrisécantes. 



(***) Math. Amalen, 1894. 



