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cero, y el polinomio U satisfará á la ecuación de Laplace y 

 será una función armónica. 

 De igualar estos coeficientes á cero resultan 



(n - 1) n 

 2 



ecuaciones lineales con 



(/z-f !)(/* + 2) 



cantidades arbitrarias, que son evidentemente en núme- 

 ro mayor que el de ecuaciones; y aún nos quedarán 



(/! + !)(/*• 2) ( n-\)n = 4n + 2 =2n 



coeficientes arbitrarios. 



Claro es que, apurando la lógica, no basta demostrar que 

 en un problema el número de cantidades arbitrarias es su- 

 perior al número de ecuaciones, porque pudieran resultar 

 ecuaciones incompatibles; pero ni es este el caso ni nos in- 

 teresa insistir en él. 



Resulta, de todas maneras, que un polinomio homogéneo 

 en x,y, z del grado n, de coeficientes arbitrarios, satisface á 

 la ecuación de Laplace, y es, por lo tanto, una armónica; 

 pero no es seguramente una potencial, porque para valores 

 infinitos de x,y, z, no se reduce á cero; es decir, que U en 

 el caso del polinomio no se anula en el infinito. 



Pero aquí se presenta un problema. ¿Ya que no en el infi- 

 nito, en un dominio determinado, por ejemplo, dentro de 

 una superficie finita y cerrada, estos polinomios ó una serie 

 convergente de ellos no podrán representar una potencial? 



Conviene apurar este problema, ó si no apurarlo, porque 

 esto es difícil en una ó dos conferencias, iniciarlo al menos, 

 pues de aquí van á desprenderse las dos teorías que antes 



