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P n se ve evidentemente que será un polinomio en eos y; 

 el número n será un número entero, que variará de o á oo, y 

 el signo S representa la suma de todos los términos de esta 

 serie. 



Esta es una primera solución, explicada en globo, por de- 

 cirlo así, del problema, pero solución que es indispensable 

 precisar. 



Es indispensable, en primer término, fijar la forma gene- 

 ral de los polinomios P, y es indispensable ver si la serie es 

 convergente y en qué condiciones lo es, porque en el cálcu- 

 lo, y hablando en términos generales, sólo son útiles las se- 

 ries convergentes; es decir, las que tienden en cada caso á 

 valores finitos y determinados. 



Pueden completar mis alumnos este punto en muchos tra- 

 tados de cálculo diferencial é integral, porque es un proble- 

 maclásico el de la determinación de los polinomios P; pero 

 nosotros escogeremos, por elegante y sencillo, el método de 

 M. Poincaré, que se funda en el empleo de las imaginarias, 

 y que da á la vez la forma general de P y la demostración 

 de la convergencia. 



Hemos visto ya en otras conferencias, que la fórmula 



e" 1 v - x = eos y -I- sen y y — 1 



puede considerarse como la definición de la exponencial ima- 

 ginaria. Exceptuando las funciones algebraicas, y pasando 

 á las funciones transcendentes, una transcendente en que la 

 variable es imaginaria no tiene por sí significación alguna. 



¿Qué puede significar, en efecto, á priori, e y ^~ l que no 

 representa ninguna operación aritmética bien definida? Pero 

 si se desarrolla la exponencial en serie ordinaria, como los 

 términos son potencias de la variable y las potencias son 

 funciones algebraicas, para las que la imaginaria tiene sig- 

 nificación, este desarrollo en serie puede ser la definición de 

 la exponencial imaginaria. 



