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mos tiempo para ello, y por lo demás, la demostración, que 

 es sencillísima, pueden verla mis alumnos en la obra de 

 Mr. Poíncaré sobre la potencial newtoniana. 



Los polinomios P se conocen con el nombre de polino- 

 mios de Legendre. 



Los polinomios de Legendre, se deducen de la fórmula que 

 hemos obtenido 



P. — E«.aL f É*<p-fl)V-l 



-fq 



que son polinomios enteros en eos y, y en que el grado de 

 cada polinomio es igual al subíndice; es decir, que el grado 

 de P n es precisamente n. 



En efecto, repitiendo el cálculo que antes hacíamos para 

 demostrar que, aunque aparentemente, la forma de estos po- 

 linomios es imaginaria, son polinomios reales; tendremos: 



P„ = 2a i ,a í (eY(P-?)V-i J^e-yip-qi \ C í) = S« p a ? . 2 eos y (/? — q) 



en que la combinación p, q sólo se toma una vez. Si se to- 

 masen las dos combinaciones p, q y q, p había que volver á 

 la fórmula primitiva. 



Vemos, de todas maneras, que P n es un polinomio en que 

 cada término se compone de un coeficiente numérico 2 v. p a g 

 y del coseno de un arco múltiple de y , á saber eos (p — q) y . 



Pero se sabe por trigonometría que los cosenos de los 

 ai eos múltiples están representados por polinomios cuyos 

 términos son potencias del arco sencillo de modo que 

 eos (p — q) y se expresará por potencias de eos y. 



Por si mis alumnos han olvidado esta demostración, bue- 

 no será indicarla de paso. 



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