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son cosenos múltiplos de y, que pueden desarrollarse en 

 potencias de la linea trigonométrica eos y. 



Además, el grado del polinomio en eos yes el subín- 

 dice n. 



Esto es evidente, porque en eos (p — q)y, el mayor va- 

 lor de p — q dará el mayor exponente para eos y. 



Pero hemos dicho que en cada término de S los valores 

 p, q deben satisfacer á la ecuación p -\- q = n, siendo n el 

 subíndice de P, que es precisamente el exponente de p lt 



Luego p — q se convertirá, sustituyendo en vez de p su 

 valor p = n — q, en 



n — q — q = n — 2q. 



El mayor valor de esta expresión corresponde al menor 

 valor de q, que es cero, y en este caso tendremos 



n — 2q = n y eos (p — q) y = eos «y. 



A este múltiplo n corresponderá un polinomio en que el 

 término de mayor exponente será eos "y. 



Con lo cual resulta comprobado lo que acabamos de decir. 



Otra propiedad importante de los polinomios de Legendre 

 debemos indicar. 



Hemos visto que el coseno de cada término de S 



es decir eos (p — q) y, 



se desarrolla en un polinomio con las potencias de eos y, 

 que son 



p — q,p — q — 2,p — q — A, ; 



si introducimos, en vez de/?, su valor anterior, tendremos 

 que los exponentes de eos y para cualquier término serán 



n — 2q, n — 2q — 2, n — 2q — 4, n — 2q — 6, 



