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Consideremos el término general 



P a n 



Si n es par, la potencia da p t no cambiará porque se sus- 

 tuya á p! el valor — p±; luego P n no debe cambiar tampoco 

 para que todo el término permanezca invariable. 



Ahora bien; P n es un polinomio que contiene diversas 

 potencias de eos y. Pero sustituyendo en vez de y el valor 

 ri — y, una cualquiera de estas potencias feos y) 9 se con- 

 vertirá en 



[eos (~ — y)] g = ( — eos y) q . 



Luego para que no varíe será preciso que todos los ex- 

 ponentes q sean pares, que es lo que nos proponíamos de- 

 mostrar y queda demostrado el teorema para este caso. 



Si n es impar p^ se convertirá, por el cambio de p t por 

 — Pi, en — p^; luego para que el término no varíe será pre- 

 ciso que todos los términos del polinomio tengan el signo — ; 

 y como hemos visto que eos y se convierte en — eos y, to- 

 das las potencias deberán ser negativas y los exponentes q 

 deberán ser impares, como n. 



* * 



Otra propiedad casi evidente de los polinomios P n . 



eos y es el coseno del ángulo que forman las rectas 

 OP, O M. 



Como las coordeeadas del punto P las hemos designado 

 por y', x', z' y la distancia OP por p', los cosenos de los 

 ángulos que forma esta recta O P con los ejes coordenados 

 serán: 



x' y' z 



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 ? P P 



