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habrá que multiplicar todos los términos de P n por 



p» = (x 2 + y 2 + z 2 )~T 



que, como n es par, será una potencia entera x 2 -\- y 2 -{- z 2 . 

 Además, esta potencia será siempre superior, á lo menos 



igual á q, que, cuando más, es — ; luego desaparecerá el 



denominador y quedarán en el numerador potencias enteras 

 de xx' -\- yy' -j- zz' y de x 2 -f- y 2 + z 1 . Es decir, que los 

 términos del desarrollo, cuando n es par, son polinomios 

 enteros en x, y, z. 



Además, son homogéneos y del grado n. 



Porque, en efecto, en el término que estamos conside- 

 rando, hemos visto que hay estos dos factores, que son los 

 únicos que contienen x, y, z, á saber: 



n 



(xx' + yy' + zz') 2 «x ^' 



(x 2 + y 2 + z 2 Y 

 ó bien 



(xx + y y' + zz') 2q x (x 2 -\- y 2 + z 2 ) 2 



- 1 



El grado en x,y, z del primer factor es 2 q, y el grado del 

 segundo factor, observando que en el paréntesis la x, la y, 

 la z, están elevados al cuadrado, será 



|— ,)-n-2 ff 



luego el grado del término será á su vez 



2# -f- n — 2g = /z. 



Por lo demás, es claro que como n es par, los dos expo- 

 nentes de los dos factores son enteros, los desarrollos son 

 homogéneos y el producto lo es también. 





