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La demostración para el caso en que n es impar es ente- 

 ramente análoga, porque si bien es cierto que eligiendo un 

 término cualquiera del polinomio P n , la potencia de eos y 

 será impar; de modo que tendremos 



(xx +j/ + zz'\ 2(1 + l 

 cos 29 + ' y = ' 



{ ;\/x 2 + y 2 +z 2 

 (xx' +yy f +Z2')^ +1 



p'2? + l ( X > _J_ yi _|_ Z 2y \J X 2 _|_ yl _|_ Z 2 



y quedará un radical en el denominador; también es cierto 

 que el polinomio P n esta multiplicado por 



Pi *= 

 ó sea 



4 



p 



Y como n es impar, siempre quedará un radical que hará 

 desaparecer el del denominador. 



En suma, tendremos, no considerando más que los facto- 

 res, con x,y, z, 



(xx + yy' 4- zz) 2q+1 ut v n 



— - — \ l -!—= { V* 2 + r + z*) 



(x 1 + y 2 + z 2 )? V* 2 + >> 2 + ¿ 2 

 y haciendo, puesto que n es impar, n = 2m -\- 1, 



(x 2 + y 2 + z 2 )? V jc 2 + y 2 -f z 2 



ó bien 



(xx' + y/ -j- zz'p 94-1 / // \ 



, — —= = V x 2 + y 2 + z 2 (V x 2 + y 2 + z 2 ) 2m = 



(x 2 + y 2 + z 2 )* \/x 2 + y 2 + 2 2 



= (xx' +yy' + zz') 2 " 4 - 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) m -" 



