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Laplace; lo cual se demuestra de una manera inmediata, por- 

 que sabemos que — satisface á la ecuación A — = o; lue- 

 r r 



go también satisfará á esta ecuación el desarrollo 



r P i ? '« p'! 



y como podemos disponer de p', ó mejor dicho, de la rela- 

 ción — — para hacer tan pequeños como se quieran todos los 



p' 

 términos de la serie á partir de l, es claro que cada término 



de la serie, en particular, debe satisfacer á la ecuación de 

 Laplace, y lo mismo podríamos decir de la serie en X. 



Nos basta con esta indicación general y nos falta tiempo 

 para entrar en mayores desarrollos. 



Sólo diremos, para terminar la conferencia y terminar el 

 curso, que puede demostrarse fácilmente, diferenciando el 

 radical 



y 1 — 2p 1 cosy + p x 2 



con relación á p¿, multiplicando ambos miembros por 



1 — 2 Pl eos y + Pl 2 



é identificando los dos desarrollos, según las potencias de p t 

 que cada tres funciones X satisfacen á una ecuación lineal. 



Esta es la primera indicación. 



Es la segunda que si en los polinomios en x, y, z se sus- 

 tituyen por estas variables sus valores en coordenadas po- 

 lares 



x = r sen eos o, y = r sen sen o, z = r eos 



en todos los términos de cada polinomio podrá sacarse r n 

 factor común y resultarán polinomios homogéneos en 



sen 9 eos o, sen sen <o y eos 0. 



