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iniciativa de la Asociación Española para el Progreso de las 

 Ciencias, un interesante trabajo titulado: Teoría de los com- 

 plementos y de las excedencias en aritmética, en el cual el 

 autor desenvuelve diversos procedimientos ingeniosos para 

 abreviar y simplificar el cálculo en algunas operaciones arit- 

 méticas. Pero entre esos procedimientos hallamos uno que 

 nos pareció notabilísimo, pues permite extraer directamente, 

 con sencillez suma, la raíz emésima de un número en ciertos 

 casos, ó cuando este número reúne condiciones especiales. 



Fúndanse las reglas propuestas por el Sr. Ayza en un 

 importante teorema que demuestra rigurosamente para la 

 raíz cúbica, y que por inducción lógica extiende á cualquier 

 valor que tenga el índice de la raíz. 



Sabido es que para extraer la raíz de un grado cualquiera 

 de un número entero N, comiénzase por repartir ó dividir 

 éste en períodos de tantas cifras como unidades tenga el ín- 

 dice de la raíz, á partir de la cifra de las unidades, ó sea de 

 derecha á izquierda. Si m es el índice de la raíz y n el nú- 

 mero de períodos completos de m cifras, podrá suceder que 

 el último período, n + 1, de la izquierda sólo contenga 

 r cifras, siendo r << m. Entonces, en general, el número N 

 se compondrá de mn -j- r cifras, y la raíz entera, de n -f- 1 

 cifras. 



El Sr. Ayza ha limitado su investigación á los casos en que 

 sea r= 1 ó r = 0, y, por consiguiente, que N conste de 

 mn — 1 cifras, siendo las n -j- 1 de la izquierda de la forma 

 10" -f- a, ó bien que N tenga mn cifras, y las n de su iz- 

 quierda sean de la forma 10" — a; pudiendo ser a, en el 

 primer caso, un número menor que m — 1, y en el segundo, 

 menor que m. Entonces la raíz entera, por exceso ó por de- 

 fecto, en menos de una unidad, podrá expresarse, según el 

 teorema demostrado por Ayza, mediante la fórmula 



(m - í)í0 ,+ y 



m 



