— 338 — 



y = y' eos a — z' sen a 



z = y' sen a-\- z' eos a 



cuyo determinante es 



1 



COS a 



Osen a 





 sena 

 eos -j. 





= 1 



y como el determinante de la rotación completa es el pro- 

 ducto de estos determinantes parciales, se tendrán necesa- 

 riamente 



A = + l 



Cuando existe inversión, podemos llevar los ejes primiti- 

 vos, por una simple rotación, á confundirse con las prolon- 

 gaciones de los nuevos, y á continuación invertir éstos. En- 

 tonces 



A = A' . A" = A", 



puesto que el determinante A' de la rotación es + 1- P ero 

 en la inversión directa de los ejes los cosenos directores son 



a 1 = — 1, P 2 = — 1, y 3 = — 1 

 «2 = «3 = i 3 i = Ps = Ti = T2 = 



de suerte que 



A" = 



- 1 

 0-1 o 

 0-1 





con lo cual queda demostrado el teorema. 



Según lo que acabamos de decir, y lo demostrado en los 

 párrafos anteriores, si aplicamos una inversión á los ejes de 



