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tienen un contacto de segundo orden con dicha superficie, 

 pueden ser las dos propias, una propia y otra impropia, ó 

 las dos impropias; en el primer caso, las cuádricas oscula- 

 trices son hiperboloides alabeados, y, en los otros dos, pa- 

 raboloides hiperbólicos, siendo en el último el punto A el de 

 contacto con el plano del infinito. Para acabar de determinar 

 una cuádrica S' de éstas, se puede, como sabemos, fijar otro 

 punto B con el plano tangente correspondiente b, convinien- 

 do elegir estos elementos de modo que se simplifique lo más 

 posible el estudio de la curvatura. En el primer caso se pue- 

 de tomar para punto B la dirección normal al plano asintó- 

 tico a, y el plano b perpendicular á la dirección A. En- 

 tonces 



las secciones normales del 

 hiperboloide S' que pasan 

 por el punto A son hipérbo- 

 las equiláteras y su curvatu- 

 ra en ese punto tiene dos 

 mínimos iguales á cero para 

 las secciones cuyos planos 

 pasan por las rectas a y a', y 

 á partir de ellas va aumen- 

 tando, por un lado hasta un 

 máximo, que corresponde á 

 la sección cuyo plano equi- 

 dista de estas dos rectas, que 

 es una sección principal de 

 la cuádrica, y por el otro in- 

 definidamente con la distan- 

 cia del plano secante á dichas 

 rectas. 



los conos circunscritos al hi- 

 perboloide S' cuyos vértices 

 están en la recta ab, que es 

 uno de sus ejes, tienen las 

 dos generatrices situadas en 

 uno de sus planos pricipales, 

 perpendiculares entre sí, y su 

 curvatura en el plano a tiene 

 dos máximos iguales á infini- 

 to, para los conos cuyos vér- 

 tices están en las rectas a y 

 a', y á partir de ellos va dis- 

 minuyendo por un lado hasta 

 un mínimo, que corresponde 

 al cono cuyo vértice equidis- 

 ta de estas dos rectas, que es 

 el cono asintótico de la cuá- 

 drica, y por el otro indefini- 

 damente con la distancia del 

 vértice del cono á dichas 

 rectas. 



Para determinar este hiperboloide se puede tomar, ade- 

 más del punto A y plano asintótico a, 



