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ó bien 



a (eos a -4- y — 1 sen a) x ¿?(cos p V — 1 sen p) = 



= ab [eos (a -f p) -f \J— l sen (a -f p)]. 



12. Si se hace la multiplicación por las reglas conocidas 

 en el Algebra y se divide por ab, queda 



eos a eos p — sen ? sen p -j- y — 1 (sen a eos p + 



+ eos a sen p) = eos (a -f P) -f y — 1 sen (a -f P) 



Para que se verifique esta ecuación es necesario que la parte 

 real del primer miembro sea igual á la del segundo, y lo 



mismo las partes afectadas del factor y — 1; de modo que la 

 última ecuación se descompone en 



eos (a -j- p) = eos a eos p — sen a sen p, 

 sen (a -f- p) = sen a eos P + eos y. sen p. 



Si uno de los ángulos es negativo, (3, por ejemplo, es de- 

 cir, si el factor estuviese por debajo de Ou, el producto es- 

 taría á la derecha del otro factor, formando con el eje real 

 un ángulo a — p, y sería 



a a x b-¿ = aba -{í, 

 ó bien 



a (eos a -f- V — 1 sen ¿) x b (eos p — y — 1 sen p) = 



= ab [eos (a — p) -j- \/— 1 sen (a — p)]; 



suprimiendo el factor ab y haciendo la multiplicación del 

 primer miembro, 



eos a eos P + sen a sen p -f- y — 1 (sen a eos p — 



— eos a sen P) = eos (a -- P) + y — 1 sen (a — p)> 



de donde resultan las fórmulas 



eos ( a — p ) = eos a eos P + sen a sen p 

 sen (a — P) = sen a eos p — eos a sen ¡3. 



