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confunden con el B, les sucederá lo mismo á los S y G, de 

 modo que las dos rectas AO y EF se confundirán con la 

 A B, que formará parte de la línea de intersección de las dos 

 cuádricas que estas rectas engendran. Si el punto C se con- 

 funde con el otro de los puntos dobles de las dos series 

 dichas, la recta A C correspondiente será también común á 

 estas dos cuádricas y la línea lugar de los polos O se com- 

 pondrá de rectas. (*) Las superficies formadas por las tan- 

 gentes ^ y y! en los puntos B y C serán dos planos, los 

 puntos de intersección de la recta o con la superficie formada 

 por las cónicas ~ se reducirán á dos y esta superficie será, 

 por tanto, la cuádrica determinada por las rectas a y a, y el 

 haz de planos a tangentes en los puntos A ; como tenía que 

 suceder, puesto que lo que hemos hecho ha sido tomar para 

 puntos B y C los de intercesión de la recta m con la cuádrica 

 dicha, en cuyo caso las cónicas ~ son las secciones planas 

 de la misma. 



Si ahora suponemos que la generatriz rectilínea a. í de la 

 superficie alabeada propuesta ¿7 se mueve, acercándose á 

 la a hasta confundirse con ella, siendo ordinaria esta genera- 

 triz, las cónicas r. tendrán un contacto de segundo orden con 

 las secciones producidas en la superficie S por los planos 

 que pasan por la recta m, y los polos O formarán la línea H 

 buscada, que corta á la generatriz rectilínea a en los puntos 

 de contacto de los planos o.B y aC con la superficie S, y á la 

 recta m en los dos puntos armónicamente separados por los 

 B y C de los M y Afen que cortan á esta recta las tangentes 

 en los puntos situados en la generatriz a de las dos secciones 

 de la superficie S cuyos planos pasan por dicha recta m y 

 son de curvatura nula en ellos, siendo fácil ver que estos 

 puntos M y N no son sino los de intersección de dicha rec- 

 ta m con la cuádrica osculatriz de la superficie 5 á lo largo de 



( :i: j Téngase en cuenta que los dos puntos A que determinan estas 

 rectas A B y A C no son uno mismo, sino las dos posiciones que están 

 en un plano con la recta *, y cada uno de los puntos B y C. 



