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su generatriz rectilínea a. Si además suponemos que los pun- 

 tos B y C son los dobles antes indicados, la cuádrica que 

 entonces forman las cónicas tt pasa á ser ésta, osculatriz de 

 la superficie S á lo largo de la generatriz a. 



Tomemos ahora para puntos B y C un par de puntos 

 circulares; los planos P serán paralelos, las cónicas ~ se 

 convertirán en los círculos osculadores y los puntos O serán 

 sus centros. Vemos, pues, que la línea //lugar de los centros 

 de los círculos osculadores en los puntos de una generatriz 

 rectilínea ordinaria a de una superficie alabeada, de las sec- 

 ciones que en ella produce un haz de planos paralelos, es 

 una línea de tercer orden. 



Los puntos en que esta línea corta á la recta m son, 

 como hemos visto, los armónicamente separados por los 

 B y C de los M y N de intersección de esta recta con la 

 cuádrica osculatriz de la superficie propuesta S á lo largo de 

 la generatriz rectilínea a, y son, por consiguiente, en el caso 

 de que esta cuádrica sea un hiperboloide, dos reales, uno real 

 ó dos imaginarios, según que la recta m sea secante, tangen- 

 te ó exterior á su línea del infinito, y en el caso de que dicha 

 cuádrica sea un paraboloide, son siempre reales, pudiendo 

 estar ó no confundidos; todo lo cual puede verse directamen- 

 te, teniendo en cuenta que el centro de curvatura estará en 

 el infinito cuando la curvatura sea nula, lo cual exige que la 

 sección producida por el plano P en la cuádrica indicada, se 

 componga de rectas, es decir, que dicho plano secante pase 

 á ser tangente á ella. Los puntos de curvatnra infinita son los 

 de intersección de la línea //con la generatriz rectilínea a de 

 que se trata, los cuales, según hemos visto, son los de con- 

 tacto de los dos planos que pasan por esta generatriz a y 

 por los puntos B y C, planos que, en este caso, son los do- 

 bles de la involución rectangular, cuya arista es esta gene- 

 ratriz rectilínea, reduciéndose, para estos dos puntos, el cír- 

 culo osculador á los dos pares de elementos dobles de los 

 dos haces de rectas alabeados en involución determinados 



