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PARTE TERCERA 

 Lineas y desarrollables definidas por la curvatura. 



En las superficies alabeadas uno de los sistemas de líneas 

 asintóticas está constituido por las generatrices rectilíneas; 

 el otro sistema lo forman líneas, cuyas tangentes en sus 

 puntos de intersección con una generatriz ordinaria, son las 

 generatrices rectilíneas de la cuádrica osculatriz de la super- 

 ficie alabeada á lo largo de ella. Las series de puntos que las 

 líneas asintóticas de este sistema determinan en dos genera- 

 trices rectilíneas a y a' de una superficie alabeada, pueden 

 relacionarse, considerando otras n generatrices intermedias 

 a l} a 2 , ...a n y las tangentes á las líneas asintóticas en sus pun- 

 tos P de intersección con estas generatrices. Si suponemos 

 que el número n aumenta indefinidamente, las tangentes á 

 una misma línea asintótica en los dos puntos en que corta 

 á dos generatrices rectilíneas consecutivas de éstas, a m y 

 a m+1 , tienden á estar en el plano osculador de esta línea, el 

 cual es tangente á la superficie por ser asintótica dicha línea, 

 siendo, por consiguiente, perspectiva la serie de los puntos P 

 situados en la generatriz a OT+j , con el haz de planos tan- 

 gentes á la superficie en la serie de los puntos P situados 

 en la generatriz a m ; de donde se deduce que estas dos series 

 de puntos son proyectivas, pudiendo, por la sucesiva con- 

 sideración de todas esas generatrices, afirmarse lo mismo 

 de las series de puntos P situados en las a y a. Las series 

 de puntos determinadas por las líneas asintóticas de una su- 

 perficie alabeada en dos de sus generatrices rectilíneas son, 

 pues, proyectivas, siempre que se puede pasar de una á 

 otra generatriz sin encontrar ninguna generatriz singular, en 

 cuyo caso aquella afirmación carece de sentido. 



A las líneas asintóticas, tangentes en cada punto á las 

 líneas de la superficie de curvatura nula en él, corresponden, 

 en la correlación, las desarrollables que tienen, en cada plano 



