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una arista « en sus diferentes puntos, sus planos osculadores 

 en estos puntos se confunden con el w, tangente en ellos á 

 la superficie, y, por tanto, á él serán tangentes las desarro- 

 llabas de asíntotas, engendradas, como sabemos, por estos 

 planos osculadores, en contra del supuesto correlativo de la 

 derecha; pudiéndose deducir del mismo modo que si estas 

 desarrollabas fuesen tangentes á lo largo de dicha arista á 

 los diferentes planos que por ella pasan, las líneas asintóti- 

 :as serían tangentes á ella en el vértice W, circunstancias 

 que, como hemos dicho, son también incompatibles. 



Las desarrollables de asín- 

 totas son, pues, tangentes á 

 lo largo de cada arista de la 

 superficie al plano w corres- 

 pondiente, teniendo, en vir- 

 tud de lo dicho en la colum- 

 na de la izquierda, como pun- 

 to de sus aristas de retroce- 

 so situado en él, el vértice W 

 correspondiente. Hay, no 

 obstante, una desarrollaba 

 de asíntotas tangente á este 

 plano á lo largo de una rec- 

 ta distinta de la arista a, que 

 es la desarrollable circuns- 

 crita á la superficie á lo lar- 

 go de la línea asintótica, ya 

 indicada, que pasa por el 

 punto /; esta desarrollable 

 tiene, en general, de inflexión 

 el plano w y, en él, tiene por 

 generatriz rectilínea, la tan- 

 gente á la curva de intersec- 

 ción de la superficie dada 

 con este plano tangente. 



Para las generatrices singulares, límite de tres generatri 



Las líneas asintóticas son, 

 pues, tangentes á cada aris- 

 ta de la superficie en su vér- 

 tice W, en el cual tienen por 

 plano osculador, en virtud 

 de lo dicho en la columna de 

 la derecha, el plano w tan- 

 gente á lo largo de ellas. Hay, 

 no obstante, una línea asin- 

 tótica que pasa por el vértice 

 y no es tangente á la arista a, 

 que es la línea de contacto 

 con la superficie de la des- 

 arrollable de asíntotas, ya 

 indicada, tangente al plano y; 

 esta línea tiene, en general, 

 de retroceso el vértice Wy, 

 en él, tiene por tangente, la 

 generatriz de la superficie 

 cónica propiamente tal, cir- 

 cunscrita á la superficie dada 

 y cuyo vértice es este punto. 



