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Se reconoce sin nueva explicación que el producto es- 

 calar será una magnitud escalar propiamente dicha ó una 

 pseudo-escalar, según que los dos tensores sean ó no de la 

 misma clase; y, recíprocamente: si Fes una cantidad escalar, 



el tensor cuyas componentes son L P es de igual clase 



que el A xx A yz , mientras que si F es pseudo-escalar 



dichos dos tensores serán de distinta naturaleza. 



Consideremos ahora la expresión 



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a b sen 2 (a b) 



y expresemos el seno en función de los cosenos direc- 



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 tores X, u, v; Y, ¡jl', v' de a y b. Se reconoce inmediatamente 



que 



ab sen 2 (7T) = á (^ v '-- ¡*' v ) 2 + ab.(vl' — v'X) 2 + 



-f- ab ().a' — ¿V) a > 



y teniendo en cuenta que los paréntesis del segundo miem- 

 bro son los cosenos directores de la normal al plano definido 



por a y b, podemos considerar los tres términos de dicho 

 miembro como las tres componentes de primera especie de 



un nuevo tensor normal á los a b, cuyas componentes de 



segunda especie se obtienen inmediatamente, sin más que 



aplicar las mismas definiciones, puesto que se conocen los 



cosenos del eje, según acabamos de decir. Este producto de 



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 los tensores a y b es el producto tensor, cuyo módulo será a b 



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sen 2 (a b) y el argumento normal al plano a b: sus compo- 



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 nentes, expresadas en función de las componentes de a y b, 



son 



c xx — (a b) 0>' — ¡¿'vp = a yy b zz + a zz b yy — 2a yz b yz 

 Cyy = (a b) (vX' — /, v') 2 = a zz b xx -f a xx b zz — 2a zx b zx 

 c zz = (a b) (Xa — V p.) 2 = a xx byy + a yy b xx — 2a xy b xy 



