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Por último, si existen, aunque no las conozcamos de an- 

 temano, será posible encontrarlas desarrolladas en serie por 

 los métodos que enseña el cálculo integral. 



Nosotros en adelante, diremos ya sin escrúpulos, que in- 

 tegrar el sistema (D) es buscar un sistema (Y) en que las 

 funciones p y q estén expresadas en valores del tiempo y 

 que conviertan en identidades todas las ecuaciones del sis- 

 tema (D). 



Se demuestra en el cálculo integral, y no podemos hacer 

 aquí otra cosa que recordarlo, que las integrales más gene- 

 rales de las ecuaciones diferenciales de primer orden (D) 

 han de contener 2k constantes arbitrarias, que se determina- 

 rían en cada caso particular por la condición de que en un 

 instante cualquiera, por ejemplo, / = 0, las p y las q tuvie- 

 ran valores determinados 



(Pi)o, Mo (Pk\, (<?i)o> (<? 2 )o (<?/■■ )o- 



Y, en efecto; si en el primer miembro de las ecuaciones 

 (Y) ponemos estos valores, y en el segundo miembro en 

 vez de t ponemos 0, las ecuaciones (Y) se convertirán 

 en 2fc ecuaciones con 2k incógnitas C lf C 2 ...... C 2 *, de 



cuyo sistema se podrán deducir los valores de estas últimas 

 cantidades, porque son 2k ecuaciones con 2k incógnitas. 



Esto es lo mismo, generalizado, que lo que se hace al in- 

 tegrar una ecuación de primer orden con dos variables. 

 Esta ecuación representa un sistema de curvas que consti- 

 tuyen la integral general, y el valor de la única constante 

 arbitraria de este caso se determina fijando el punto por el 

 cual ha de pasar la curva que se elige, es decir, estable- 

 ciendo que para el valor de x elegido x , y ha de tomar el 

 valor y . 



Con esto basta para determinar el valor de la constante 

 arbitraria por medio de la ecuación 



F(x,z, C) = 0, 



