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Mas en general esto es lo mismo, que si dijéramos, que 

 la función (F), en todo el movimiento del sistema, y sean 

 cuales fueren las condiciones iniciales, es decir, los valores 

 de C, conserva un valor constante c. 



Si los valores de p y de q del sistema (Y) convierten en 

 identidad la ecuación F — c, ocurre por intuición inmediata, 

 que esta ecuación puede suplir á cualquiera de las ecuacio 

 nes del sistema (Y), y que si tuviéramos 2k ecuaciones como 

 la (F), y las c fueran arbitrarias, este sistema podría susti- 

 tuir al ( Y) y de él podríamos despejar las p y las q, en fun- 

 ción del tiempo y de las 2k constantes C. 



Se dice, que son integrales pi imeras, porque ha de recor- 

 darse, que las ecuaciones diferenciales del movimiento son 

 de segundo orden, y en estas ecuaciones últimas entran las 



p, que dependen de las q == — — que son derivadas prime- 



dt 



ras. Y cuando en las ecuaciones diferenciales de segundo 



orden se obtienen relaciones entre las derivadas primeras y 



las variables, se afirma, en general, que estas ecuaciones son 



integrales primeras. Además, la denominación es justa porque 



las ecuaciones diferenciales contenían derivadas segundas, y 



si ahora tenemos relaciones con derivadas primeras es, en 



cierto modo, haber efectuado una primera integración. 



Así, apurando la analogía, si la ecuación F = c se con- 

 virtiera en una de las que dan el valor de las p en el siste- 

 ma ( Y), podríamos decir que ésta era una integral primera, 

 salvo que contiene más de una constante. 



Y, en cambio, en el mismo sistema (Y) las ecuaciones que 

 dan los valores de q son integrales segundas y definitivas 

 porque dan el valor de la función ó coordenada auxiliar del 

 sistema q. 



Claro es que si F = c es una integral primera, también lo 

 será cualquier función cp de F, es decir: 



?[^(Pi Pk, Qi q k ,t)]=c; 



