— 745 — 



Basta para convencerse de ello observar que H es una 

 función de p, q y t perfectamente conocida, de la cual se 

 pueden deducir todas las derivadas parciales respecto á p y q 

 que entran en esta ecuación (G), y los resultados serán fun- 

 ciones también determinadas de las p, q y t. 



Como suponemos, qre se nos da la función F, de p, q, t, 

 con el objeto de averiguar si es ó no una integral primera; 

 y precisamente para eso estamos buscando la condición ne- 

 cesaria, es claro, que también podemos considerar á todos 

 los coeficientes diferenciales de F, con relación á las p y las 

 q, como funciones de estas cantidades y del tiempo /: luego 

 la ecuación (G) es, como decimos, una función de forma de- 

 terminada en p, q, t, que podremos representar así 



G(p lt pi Pk,q v q-2 Qk, = 0. 



Hemos dicho que si F = c es una integral primera, esta 

 última ecuación debe verificarse; pero hemos agregado, ade- 

 más, que debe ser una identidad, y esto es lo que resulta 

 evidentemente del siguiente razonamiento. 



Esta ecuación debe verificarse durante todo el tiempo del 

 movimiento, sean cuales fueren las condiciones iniciales, 

 porque los sistemas (D) (F), de donde proceden, cumplen 

 con esta condición. 



Pues consideremos un instante cualquiera t ; á este ins- 

 tante corresponderán valores de p y q, que representare- 

 mos por 



(Pi)o, (A>)o (pk)o, (<?i)o, (<? 2 )o (Qk) en el tiempo / . 



Mas no hay inconveniente en considerar este instante 

 como el inicial del movimiento; luego estas p y estas q se- 

 rán los valores iniciales, y éstos pueden ser arbitrarios, por- 

 que para cada sistema de estos valores, sea el que fuere, y 

 durante el movimiento del sistema á que corresponden, la F 



