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Pues entre las soluciones particulares hay una importan- 

 tísima, fundamental, la única, por el pronto, que nos inte- 

 resa, que es la que se llama integral completa, y que con- 

 tiene tantas constantes arbitrarias, como hay variables in- 

 dependientes. 



De modo que su forma es: 



V= V(q { , q 2 ,q 3 , t, a x , a,, a ñ , h). 



Es decir, que V es función, naturalmente, de las cuatro 

 variables independientes q lt q 2 , q. ¿ , /, y de cuatro constantes 

 arbitrarias. a v a.,, a 3 , h. 



Existe, por último, una integral general, la más general po- 

 sible, que contiene, no ya constantes arbitrarias, sino funcio- 

 nes arbitrarias. 



Y esto no debe extrañarnos en las ecuaciones diferencia- 

 les parciales, porque, naturalmente, ocurre, y así .se de- 

 muestra, que las soluciones generales de estas ecuaciones 

 deben contener funciones arbitarias. 



Por ejemplo, supongamos un caso particular 



3 V ¿V cV 



A — — + B — + C — = , 

 dx 2y 3z 



en que V es la función, x, y, z las variables independientes, 

 y A, B, C funciones de estas variables independientes, pero 

 no de la fuución V. 



Pues yo digo, sin profundizar el problema, que aun en 

 este caso sencillísimo deben aparecer funciones arbitrarias. 



Porque, en efecto, sea V x una solución de la ecuación pre- 

 cedente, es decir, que se tiene idénticamente: 



A (x, y, z) lXl~ + B{x >y ,z)-^-+ C(x,y, z)-^- = 0. 

 ex %y 32 



Si Vi es una solución, es evidente que cualquier función 

 arbitraria de V l también lo será. 



