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Resumiendo todo lo relativo al caso en que st -f- f5 = 7. ve- 

 mos que, en general, el producto de dos factores cuyas colati- 

 tudes son suplementarias es —1 con tal que ¡os dos factores 

 no estén en un mismo meridiano. En este caso particular, los 

 factores tienen direcciones opuestas; es decir; que coinciden 

 con un mismo diámetro de la esfera, y el producto está en 

 el semimeridiano de mayor colatitud. Si éstos son iguales, 

 el diámetro que contienen los factores está en el ecuador, y 

 el producto es -}-l. 



47. De todo lo demostrado en estos casos particulares, 

 se deduce que el producto de dos factores, situados en el 

 ecuador, es negativo si no son opuestos y positivo si lo son; 

 de modo que 



(* \/=t) 2 = (± \¡-x *~r= (± ^=1 v ~) c*v=i) = - > 



( +v /n)uv/=TM + v r ^ TT )(-v'^T v ~) = + i 



Este resultado nos va á servir para averiguar qué condi- 

 ciones se necesitan para que la multiplicación sea distribu- 

 tiva, sin dejar de ser como lo hemos definido. 



Para que lo sea, se necesita que los nueve términos que 

 resultan de multiplicar los tres términos de la expresión 



lcc\ a > = eos y. -\- sen « (y — 1 eos a' -f y — 1 ~ ' sen %') 

 por los de 



\ m . = eos p f sen ,3 (\/— 1 eos £' + \/-l y ' ' sen ,v) 



den una suma igual á la de la fórmula (13) 



Para mayor comodidad, reduzcamos á binomios los fac- 

 tores, poniendo 



\]~\ eos -/ + V 7 — 1 V _ ' sen x A, 

 \JZ~\ eos V 4- S¡— 1 N sen y />'. 



