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sen- j. eos p sen x' eos x', y otras dos, sen- p eos x sen V 

 eos £', y queda sen y sen ¡3, eos a sen x' eos p' -}- sen a sen p 

 eos P eos a' sen ,3' = sen a sen ¡i eos p sen a' eos P' -j- sen a 

 sen p eos a eos a' sen p' suprimiendo el factor común sen x 

 sen p, 



eos a sen a' eos p' -\- eos p sen P' eos a' = eos -i sen a' eos p' -f- eos * sen V eos a 



eos a (sen a eos P' — sen ,3' eos a') = eos p (sen a eos p' — sen p' eos a') 



sen (a — p') (eos x — eos £) = 



y restableciendo el factor suprimido se tendrá la condición 



sen y. sen p (eos a — eos p) sen (a — p') = 

 que se satisface con 



sen a = 0, sen p = 0, eos x == eos p, sen (a' — p') 



La cuarta condición se satisfaee con a' — £' = o ó con 

 a' — í¿' = 7r; de modo que aquí está comprendido el caso 

 particular que hemos aplazado, y no hay necesidad de tra- 

 tarlo separadamente, porque ya vemos que si a' — p' = -, 

 la operación es distributiva. En uno y otro caso, los dos fac- 

 tores están en un mismo meridiano. Si sen j. = oó sen p =o, 

 uno de los dos factores está en el eje real, positivo si y. = o 

 ó (¡j = o, y negativo si a = - ó p = ~, y el factor que ocupa 

 esta posición está en todos los meridianos, y, por consi- 

 guiente, están los dos factores en un mismo meridiano. Este 

 puede tomarse por meridiano principal, y sabemos que en 

 él la multiplicación es distributiva; por lo tanto, es suficien- 

 te cualquiera de las condiciones 



sen y. = 0, sen p = ó sen («' — p') = 0. 



Veamos si lo es la condición eos x== eos p, que se satis- 

 face con ,2 = y. ó con 3 = — y. 



