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Por último, diferenciando la segunda con relación á r, la 

 tercera con relación á y, é igualando, obtendremos 



w »/,-(x,y,2r) r-v 9/ K (x,y,z) 



?y?z «?z dz dy dy 



y la tercera condición será 



dz 2 y 



De suerte, que como decíamos antes, para que la ecua- 

 ción diferencial propuesta sea una ecuación diferencial total 

 de primer orden y de tres variables independientes, f x , f. 2 , f H 

 no pueden ser arbitrarias, sino que deben satisfacer á tres 

 condiciones que escribimos abreviadamente suprimiendo las 

 variables x, y, z, en esta forma, que es la ordinaria 



3/i _ 3/, 3/i _ 9/s 3/i _ 3/ 3 . (C) 



condiciones que se retienen fácilmente de memoria, obser- 

 vando que los índices 1, 2, 3, y las variables x, y, z, se sus- 

 tituyen alternadas; y con sólo examinar las fórmulas se com- 

 prende lo que queremos decir. 



Resulta, en fin, que las tres ecuaciones C son tres ecuacio- 

 nes de condición y también podemos decir de integrabilidad. 

 O explicado de otro modo, son necesarias y suficientes para 

 que la ecuación diferencial propuesta sea una diferencial 

 total. 



Que son necesarias, acabamos de demostrarlo; que son 

 suficientes vamos á verlo desde luego, porque vamos á ex- 

 plicar un procedimiento para deducir V cuando dichas con- 

 diciones de integrabilidad se verifican. 



Y mas aún, y esto pocas veces se consigue, vamos á ob- 

 tener la integral por medio de cuadraturas. 



