Sp O 
La più generale congruenza W di cui Q è una falda focale si ottiene 
conducendo le tangenti alle linee del sistema semplicemente infinito 
du dv 
(2) 0 iene 
dove a(u) e b(v) sono funzioni arbitrarie dei loro argomenti !'). Le 
rette di quella congruenza inviluppano, conseguentemente, su $, il 
sistema di linee 
(3) on 
L’ ulteriore fuoco P’ (esistente su S) della retta 9 della congruenza 
uscente da un punto P(u,v) della quadrica @ si otterrà dunque 
come intersezione di g colla retta della congruenza uscente da quel 
punto di Q, che è infinitamente vicino a P nella direzione definita 
dalla (3). In tal modo si trovano subito, come coordinate di P' 
(4) Ve 
=(b'—a)ut2a:(b—a')v_-2b:(b—a' )uv—-2(bu — av):b'— a: 
di 
dubai 
Dunque, nel caso generale, le (4) rappresentano parametricamente 
(rispetto ad un opportuno sistema di riferimento) tutte le superficie S 
le cui asintotiche dei due sistemi appartengono a complessi lineari ; 
u e v essendo i parametri delle asintotiche: Tali superficie si chiame- 
ranno, nel seguito, di prima specie. Inoltre, per evitare che le (4) 
rappresentino una linea, anzichè una superficie, e volendo anche 
escludere dalle nostre considerazioni le superficie rigate, occorre e 
basta supporre che nè luna nè l’altra delle due funzioni a(u),d() 
si riduca a un polinomio di secondo grado nel suo argomento (v. più 
avanti il n. 6). 
4. — Nel caso II, per procedere alla costruzione delle corri- 
spondenti superficie S (di seconda specie) partiamo dalla seguente 
considerazione. Siano P un punto della $, © una delle due asinto- 
tiche passanti per esso, («)il corrispondente complesso lineare, del 
quale, per fissare le idee, supponiamo che contenga i due fasci di 
dove è posto a' — 
14) Questa proprietà, che è anche dimostrata nella mia Nota citata, 
era già stata osservata in BrancHi, Sui sistemi coniugati permanenti nella 
deformazione delle quadriche, « Rendiconti della R. Accademia dei Lincei », 
serie 5.*, t. XXII, 2.° semestre 1913. È 
