2") e 
dovrà ridursi a du dv =0 la equazione trasformata della (6) del n. 4 
mediante le (12); e per ciò occorre e basta che sia 
(u+to)p_ +9, t9,3=0: 
da cui 
__a(u)+-b(0) 7 i 
(13) 0g va) 
con a e db funzioni arbitrarie dei loro argomenti. Allora le (5) di- 
venteranno 
(14) CA ga 
=(a—b)(u—-v)—2(a+d5):20o(a' —dD'):2(u+0v):4, 
o anche, modificando opportunamente il sistema di riferimento, 
(15) eis: = (a — V) (u—v)—-2(a+d):a'—d': a bord 
Le (14), 0, ciò che è lo stesso, le (15) forniscono adunque, rispetto ad 
un opportuno sistema di riferimento, le equazioni della più generale 
superficie di terza specie riferita alle asintotiche ?°), dove è ancora 
da escludere (v. il n. 6) che a(u) o b(v) siano polinomi di secondo 
grado. i 
6. — Vogliamo ora giustificare quanto abbiamo detto, per le tre 
specie di superficie, relativamente ai tipi di funzioni a(),d(v) che 
si devono escludere per evitare la loro degenerazione in una linea, 
o in una superficie rigata. 
Supponiamo anzitutto che una delle superficie $ costruite sia 
rigata. Essa, in tutti tre i casi, è stata costruita come seconda falda 
focale di una certa congruenza rettilinea [, la quale era dotata 
della proprietà che le rigate della congruenza determinate dalle 
singole asintotiche w di S stavano in congruenze lineari speciali 
aventi per asse r nel secondo e nel terzo caso, e nel primo quella 
generazione della quadrica @ che, come asintotica, corrispondeva 
.nella congruenza W alla asintotica w di S. Se le asintotiche w di 
un sistema della S sono rettilinee, quelle rigate vengono a stare in 
un’altra congruenza lineare (speciale) e conseguentemente sono 
schiere rigate. Ciò posto, scriviamo le coordinate di una retta gene- 
19) Le (15) coincidono, salvo le notazioni, con le formole trovate per 
altra via dal WiLezyNsKI (citato nella nota?)). 
