Lt gie 
rica di T. Per le superficie di prima specie, considerando quella 
retta come congiungente il punto (4) col punto (1), si hanno le coor- 
dinate radiali 
(16) - Pio : Pig: Pu è Pos: Pao: Pag = 40 + du: bu :a:av — bu:d: — av, 
mentre per le superficie di seconda e terza specie, si potrà consi- 
derare quella retta come intersezione dei due piani pa, +@,=0, 
X;—X%,+ x, =0, prendendo per % l’espressione fornita rispetti- 
vamente dalla (8) e dalla (13), così da ottenere per le coordinate 
assiali, nei due casi 
(17) dio ® Dig? Da 3 D94: do da = 0:00 av + bu: vi — &, 
e 
u— 
(18) Que è Dig © Dia: Da dn dg = 0 —2:(U4 0) +0: - 
Ora, affinchè, p. es., per v= cost. le (16), o (17), o (18) rappresentino 
una schiera rigata è necessario e sufficiente che sia costante una 
combinazione lineare a coefficienti costanti, di a,vu,u°. E di qui 
segue senz'altro che a(w) è un polinomio di secondo grado in wu. 
Viceversa, in tal caso, i secondi membri delle (4), (9), (15) si ridu- 
cono a espressioni lineari intere in v. Quanto all’ eventualità che 
le (4), (9), (15) rappresentino una linea anzichè una superficie, essa 
non si presenterà certamente qualora si escludano per a(u), d(v) 
quelle stesse espressioni di cui si è detto. Invero, nel caso I, si 
vede facilmente che tale linea non potrebb’ essere che una retta; 
ma allora le rigate della congruenza corrispondenti, p. es., a v= cost. 
sarebbero schiere rigate, e si applica il ragionamento ora fatto. 
Quanto ai casi II e III, come si è visto al n. 4, basterà far sì che 
non sia Pd; ora questa equazione equivale, nel caso II, a 
ua" +4 vb’ —a' — b'=0, 
da cui 
ua" — a' = — (vb — b')= cost., 
e gli integrali di queste equazioni del 2.° ordine in a e in d sono 
appunto del tipo già escluso. Nel caso III pa — 0 diventa a” + bd" = 0 
e si conchiude analogamente. 
7. — Per dualità, a ciascuna delle superficie trovate, corrisponde, 
come è chiaro, una superficie della medesima specie. Questa conside- 
razione, oppure il calcolo diretto, permette di ricavare senza difficoltà 
