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le funzioni a(«),d(v). Per la (19) basterà mutare 5 in — d; per la 
(20) prendere come nuovo parametro, al posto di *, v=: come 
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nuova funzione bd la vb; per la (21) assumere come nuovo para- 
metro —v in luogo di ®. 
8. — A una notevole proprietà delle superficie S dei numeri 
precedenti si giunge introducendo in relazione con esse le due con- 
gruenze direttrici del WILCZYNSKI °°). Per una superficie generica /, 
{non rigata) i due complessi lineari di rette determinati, ciascuno, 
dalla tangente ad una delle asintotiche passanti per un punto P 
insieme con un conveniente numero di tangenti a quell’asintotica 
infinitamente vicine, hanno in comune una congruenza lineare, delle 
cui rette direttrici l’una (retta direttrice di prima specie) giace nel 
piano tangente alla Y in P, e l’altra (direttrice di seconda specie) 
passa per il punto P. Al variare del punto P su F, nascono così due 
congruenze direttrici, rispettivamente di prima e di seconda specie. 
Orbene, per le superficie S (non rigate) le cui asintotiche appar- 
tengono a complessi lineari, le due congruenze direttrici sono entrambe 
congruenze W °'). i 
Per semplificare l’esposizione, rappresentiamo, nel modo ben 
noto, le rette dello spazio nei punti di una varietà Mi di uno spazio 
a cinque dimensioni; le due reti involutorie di complessi di cui al 
n. 2 si rappresentano in due reti di iperpiani aventi per basi rispet- 
tivamente due piani mutuamente polari rispetto alla Mi slano 7, 
e r,; cosicchè gli co! complessi lineari corrispondenti a un sistema 
di asintotiche avranno per immagine nello $S; gli S, polari (rispetto 
a M°) dei punti di una linea L, di x,, mentre agli altri co! com- 
20) Cfr. E. J. WILCZYNSKI, Projective differential geometry of curved 
surfaces, Second Memoir, « Transactions of the American Mathematical 
i al delie sta rt 
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Society », vol. 9, (1908). 
21) Nella Memoria: Surfaces characterized by certain special pro- 
perties of their directrix congruences di G. H. YEATON, « Annali di Mate- 
matica pura ed applicata », serie III, tomo XXVI, 1917, è studiata una 
superficie per cui la congruenza direttrice di seconda specie è lineare. 
Essa è una particolare superficie S di seconda specie: le sue coordinate 
si ottengono dalle nostre (9), a meno di una collineazione, prendendo 
a(u)=ulogu,b(v) = vlogo. 
