RI Ty, LR 
plessi corrisponderanno gli $, polari dei punti di una linea L, di x. 
La proprietà da dimostrare si riduce allora a questa: che ciascuna 
delle due superficie Z,, e Y,, segate sulla Mî dalle co? rette con- 
giungenti i singoli punti di LZ, coi singoli punti di L, è (immagine 
di una congruenza W, cioè è) tale che le coordinate proiettive omo- 
genee dei suoi punti, considerate come funzioni di due parametri 
che determinano i singoli punti deila superficie, sono soluzioni di 
una stessa equazione lineare alle derivate parziali del second’ or- 
dine ?°). Basterà per ciò mostrare che, se 7, XK sono due punti ge- 
nerici delle linee L,, L-,e H, K i punti ad essi infinitamente vicini 
(del prim'ordine) su queste linee, i quattro punti di intersezione fra 
loro infinitamente vicini della Mi con le quattro rette che congiun- 
gono 7, H con K,K stanno in un piano (in modo più preciso, che 
se u,v sono due parametri che individuano rispettivamente i punti 
di L,,L.,, 6 x è un punto che descrive p. es. la superficie %, la 
matrice [||x,x(u+du,v), c(u,v4 dv), c(uv+du,v+ dv)||, nelle 
cui linee si sostituiscano ordinatamente le varie coordinate di x è 
nulla, a meno di infinitesimi di ordine superiore al quarto). Ora, 
lo S, delle due rette HH, K K sega la Mi in una quadrica, rispetto 
alla quale quelle due rette sono mutuamente polari, cosicchè la ve- 
rità dell’ asserto emerge senz’ altro dalla notissima proprietà che sono 
coniugati i due sistemi di sezioni prodotte in una quadrica dello 
spazio ordinario dai fasci di piani per due rette polari. 
Per avere una conferma analitica, si può supporre di aver scelto 
nello $S; un sistema di coordinate proiettive omogenee 0, , 0, ....,%, 
in modo che i due piani rx e 7, siano rispettivamente è, =0,=0,=0, 
e 0,=09,=0,=0, 8 che la M' abbia per equazione 
60 +00 +6 — 00 _6=0. 
I punti di ESE) saranno dati rispettivamente da 
Beta 00 000 00000) 00 
0,:0,:03:0,:0:0, = 0 (v):0():0.(7):0:0:0 
e quelli, p. es., di Y da 
(22) 6,:0,:03:0,:0;:0=U0,(w): TO,(u): TO(u): VO;(0): VOs(0) : Vos(©) 
2?) Cfr. DARBOUX, op. cit., nella nota *), t. II (1915), p. 358. 
