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Di qui segue di nuovo che ciascuna delle congruenze direttrici è 
una congruenza W, e che, di più, per ogni suo raggio, î fuochi, e 
anche î piani focali, sono coniugati rispetto alla quadrica Q. Infatti, 
riferendoci p. es. alla congruenza direttrice di seconda specie, si 
tratta di provare l’asserto per una congruenza generata, a partire 
da una quadrica @, come luogo delle congiungenti le coppie di 
punti omologhi in una corrispondenza della quadrica in sè, che 
muti in sè ciascuna delle due schiere °‘). A tal uopo, se Z' e Z” sono 
due punti corrispondenti della quadrica, consideriamo le proiettività 
di ciascuna schiera in sè stessa che risultano osculatrici, lungo le 
generatrici uscenti da Z',Z”, alle corrispondenze subordinate, da 
quella data, entro ciascuna schiera, e la omografia Q della @ in sè 
che prende origine in tal modo. Le rette congiungenti punti omo- 
loghi nella omografia £ generano una congruenza di HIRST °°), che è 
notoriamente una congruenza W, in cui i fuochi e piani focali dei 
singoli raggi si comportano, rispetto a @, appunto nel modo indi- 
cato. E poichè quella congruenza di HIRST per il modo col quale fu 
costruita, nell'intorno del raggio Z’Z”, coincide con quella data a 
meno di infinitesimi del terzo ordine, segue la proprietà enunciata. 
Osserviamo un caso particolare degno di nota: supponiamo che 
la corrispondenza subordinata nel modo ora visto dalla congruenza 
direttrice di seconda specie entro ciascuna delle due schiere di Q sia 
una proiettività (non parabolica nè involutoria). Assumendo conve- 
nientemente il sistema di riferimento, si può supporre che le (34), 
(35) divengano u,= Ru3,v,=kv, con h, k costanti. Allora si ha 
2 2 
TE I=% 
(36) a(u)= a0 ; bio) = bo ; 
con a, e db, costanti, e l'equazione della corrispondenza p. es. fra 
le u,,%, del n. 9 diviene 
(37) (n+1)°(«+a)+2(#°—6h-+1)uu,=0, 
24) Questa proposizione fu indicata dal prof. BrancHI, in una sua lettera 
del febbraio 1914 al prof. SEGRE, come interpretazione in una metrica cay- 
leyana di un risultato da lui assegnato nella Nota: Sulle superficie a cur- 
vatura nulla negli spazi di curvatura costante, « Atti della R. Accademia 
delle Scienze di Torino », vol. XXX, (1895). La dimostrazione che segue 
nel testo fu da me comunicata, in quella occasione, al prof. BraNCcHI, per 
il tramito del prof. SEGRE. . p 
25) Cfr. p. es. Sturm, Die Gebilde ersten und zweiten Grades der Li- 
niengeometrie, Il Theil, (Leipzig 1893), p. 208 e sgg. 
