Scrivendo, per semplicità, U e V rispettivamente in luogo di «, 
e di v,, si trova subito, per il sistema di linee inviluppate dalle 
rette P P' sulla quadrica Q (analogo al sistema (2) del n, 3), l’equa- 
zione i 
aU av e cp SE 
avtam = , con UU a B(V)= Do 
(39) 
RITA agri deg i i. i 7 
dove è da intendere che —--,--, si esprimano rispettivamente in fun- 
GRAND 
zione di U, V per mezzo delle 
2a 20 
(40) U=u — 7 - V=v—- Do: 
11. — Riprendendo ora una superficie S di specie qualunque, 
le cui asintotiche stanno in complessi lineari, vogliamo provare 
che due qualsiansi sue asintotiche dello stesso sistema, purchè entrambe 
curve, sono tra loro protettive, risultando omologhi due punti situati 
su una stessa asintotica dell’ altro sistema. 
Siano %,,, due asintotiche curve di uno stesso sistema tra loro 
infinitamente vicine, P, e /, rispettivamente due loro punti situati 
su una asintotica dell’ altro sistema. Al variare della coppia di 
punti considerata, la congiungente P,/, varia in una congruenza 
lineare di rette, intersezione dei complessi lineari cui appartengono 
Wi , vs (cfr. quanto si è detto al u. 9 e la nota *)). Perciò, la ri- 
gata descritta da PP: stando in una congruenza lineare, due sue 
asintotiche curve sono proiettive ?); donde, poichè ©, , ws sono 
ovviamente asintotiche di questa rigata, segue che esse sono proiet- 
tive, e precisamente in modo che ai singoli punti P, corrispondono 
i singoli punti P,. Così da ws si passa a un’altra asintotica infini- 
tamente vicina, ecc., e si conclude la proposizione enunciata. 
La dimostrazione sintetica che precede non è però del tutto 
soddisfacente, in quanto lascia adito al dubbio che, quando l’asin- 
totica +, variando con continuità diviene rettilinea, ritornando poi 
a incurvarsi, venga a cessare la relazione di proiettività tra le sue 
posizioni che precedono, e quelle che seguono quell’asintotica ret- 
tilinea. Per eliminare ogni dubbio in proposito, diamo senz'altro 
27) Cfr. p. es. il n. 4 della Nota della Sig. MancineLLI citata nella 
nota ?). 
