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E si verifica anche subito che i determinanti delle sostituzioni 
scritte sono diversi da zero nell'ipotesi che le due asintotiche siano 
curve. 
12. — Termineremo queste generalità mostrando come si possa 
costruire la più generale superficie, le cui asintotiche appartengono 
a complessi lineari, la quale debba contenere, come asintotiche di 
sistemi diversi, due curve prefissate. 
Riprendiamo anzitutto a considerare quella congruenza retti- 
linea T di cui ci siamo serviti nei nn. 3-5 per costruire una super- 
ficie S del tipo richiesto (come una delle sue falde focali). Si trat- 
tava, per le superficie di ciascuna specie, di una congruenza W°°); 
anzi, per una superficie di prima specie, abbiamo già osservato al 
n. 10 che la congruenza W in questione corrisponde a un’ equazione 
di Laplace riducibile alla 0,0 =0; e questa proprietà si estende 
subito alla superficie di seconda e terza specie, quando si tengano 
presenti le (17) e (18) dei n. 6. E ciò equivale a dire che, fissati 
comunque due valori « e «' per il parametro «, e due valori v, v” 
per il parametro v, le quattro rette della congruenza I che si ot- 
tengono accoppiando ciascuno dei primi due con ciascuno dei se- 
condi due appartengono ad una schiera. Partendo da questa osser- 
vazione, nella mia Nota citata in !), ho assegnato per le superficie 
di prima specie la seguente costruzione. Si parta da una quadrica ® 
non degenere. Si costruisca una congruenza avente per falda focale Q 
in questo modo: sî assumano ad arbitrio le rette della congruenza che 
toccano Q@ nei punti di due generatrici r,S di diversi sistemi; preso 
poi un punto generico P della quadrica, si assuma come retta della 
congruenza passante per esso la generatrice, passante per P, della schiera 
individuata dalle tre rette della congruenza che escono dagli ulteriori 
tre vertici del quadrilatero sghembo formato da r,s e dalle due genera- 
trici di Q uscenti dal punto P. La seconda falda focale della con- 
gruenza così costruita dà una superficie S di prima specie ®°). 
Questa costruzione si può opportunamente estendere alle altre 
due specie di superficie. Incominciamo con le superficie di terza 
specie, per le quali le cose si presentano nel modo più semplice. 
Si ha, per la più generale fra esse, la seguente costruzione. Si parta 
29) Per le superficie di seconda e terza specie, a tacere dalla motiva 
zione che ora sarà detta, basta riflettere che quelle congruenze stavano 
in un complesso lineare speciale avente per asse la retta r. 
°°) Salvo casi di degenerazione che non ci interessano, per i quali ri- 
mandiamo alla mia Nota citata. 
