della quadrica Q (che supponiamo *) non passante per P' nè tan 
gente a'r’) ricoperta dalle schiere basi di (£,),(-E,) con una delle 
tangenti ad essa condotte da P' e giacenti in 7’; e siano r,s le 
generatrici di Q uscenti da P, giacenti, la prima (con tutta la schiera 
della Q, sia (r), cui essa appartiene) nei complessi di (&,), la se- 
conda, con la schiera (8), in quelli di ( &,). La congruenza lineare 
speciale formata dalle rette tangenti alla @ nei singoli punti della 
r sta nel complesso (©+,), avendo in comune con esso la schiera (8) 
e inoltre la retta g= PP'; e di qui segue l’esistenza di una rigata 
E, contenente come generatrice la 9g, le cui singole generatrici toc- 
cano @ in un punto di r e incontrano w, in un punto, giacendo 
nel piano in esso osculatore alla stessa w, (dimodochè la ©, è asin- 
totica di F,). Così, esisterà un’altra rigata E, che si comporta in 
modo analogo rispetto a s,w,. Se dunque esiste una superficie $ 
di prima specie soddisfacente alle condizioni richieste, subordina- 
tamente alla scelta che è stata fatta di (£,),(,), essa non potrà 
differire da quella superficie S, ben determinata, che si ottiene 
come ulteriore falda focale della congruenza W, di cui una prima 
falda è Q, costruita come è indicato nel primo enunciato di questo 
numero, quando come rigate della congruenza circoscritte alla @ 
lungo le rette r,s si assumano rispettivamente £,,H,. Viceversa, 
dico che la superficie S così costruita contiene, come asintotiche, 
. le w,,%gy. Invero, se «,,%w, sono le asintotiche (necessariamente 
curve) della S_ corrispondenti alle r,s considerate come asintotiche 
della Q, tali curve apparterranno, come asintotiche, rispettivamente 
alle rigate E,,F,, che già contengono, pure come tali, le ©,,wp. 
Ora le rigate £,, E, ammettono entrambe come piano tangente nel 
punto P il piano ivi tangente alla quadrica @, nel punto P' il 
piano x’, e nel punto P" (nel quale la $S è toccata da g cioè nel 
punto) in cui g è segata da w,,w, il piano n° ivi tangente alla $. 
Ora, se i tre punti P,P',P" e i tre piani 7,T,r" fossero tutti 
distinti, da quanto si è detto segue che E,,Z, risulterebbero mu- 
tuamente tangenti lungo la generatrice non parabolica g: esse avreb- 
bero allora in comune up’ altra generatrice infinitamente vicina, la 
35) Si osservi che, in virtù delle (4), in ogni punto di intersezione di 
una superficie di prima specie S colla corrispondente quadrica @ è 
a(u)b(v)=0, e allora le stesse (4) mostrano che una delle asintotiche 
della S uscenti da quel punto è rettilinea (e coincide con una genera- 
trice della quadrica Q). Quindi, supponendo che P’ sia intersezione di due 
asintotiche curve della S, escludiamo che P' stia su @ (e dualmente). 
