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quale, dovendo toccare la @ in un punto di » e in un punto di s 
passerebbe per P cosicchè la g sarebbe parabolica; se poi fossero 
distinti i tre punti P, P', P"”, ma non i tre piani 7, 7’, 7° (cosicchè 
necessariamente — cfr. la nota *) — sarebbe 7-7") la g sarebbe 
parabolica per entrambe le rigate 7, E: con P come punto cuspi- 
dale, e allora P starebbe (nei piani osculatori ad wi,ws nei loro 
punti infinitamente vicini a P' cioè) sulla retta tangente a ciascuna 
delle curve wi, nel punto P’, donde seguirebbe la coincidenza di 
queste rette tangenti. Adunque è certo P'= P”, e di qui segue che 
p. es. ©, e w, incontrano la g in uno stesso punto e perciò coinci- 
dono. Adunque esistono co superficie S di prima specie, di cui sono 
prefissate le asintotiche wi e w, (nelle condizioni sopra esposte): esse 
si ottengono costruendo dapprima una delle co' coppie di reti involu- 
torie (R,),(R,) colla quadrica Q ricoperta dalle loro schiere basi, e 
applicando poi la costruzione esposta nel primo enunciato di questo 
numero. i 
Omettendo le analoghe considerazioni per le superficie delle 
altre specie, osserviamo piuttosto che, in virtù del risultato conse- 
guito al n. 11, questa costruzione permette già di ottenere tutte le su- 
perficie con asintotiche cubiche, bastando, a tale scopo, supporre che 
©,,tg Siano cubiche sghembe. Esistono. dunque co? superficie le cui 
© asintotiche sono cubiche sghembe: su esse ritorneremo nella seconda 
Nota 86). 
OSssERVAZIONE — Dalla proprietà dimostrata risulta, indiretta- 
mente, confermato il noto teorema #, secondo il quale le curve di 
un complesso lineare che passano per un punto fisso P' hanno, in 
esso, la stessa torsione; esso risulta inoltre completato dalla osser- 
vazione che, se rispetto a due complessi involutori P' ha lo stesso 
piano polare, allora i valori delle torsioni in /' che competono ri- 
spettivamente alle curve dei due complessi passanti per tale punto 
sono uguali in valore assoluto e di segno contrario (ciò che si può 
verificare facilmente in modo diretto). 
36) Così si ottengono pure con quella costruzione tutte le superficie le 
cui asintotiche sono quartiche di seconda specie con due tangenti di flesso, 
bastando, a tal uopo, supporre che tali siano %0],0. 
37) Cfr., p. es., Lie, Geometrie der Beriihrungstransformationen, Leipzig 
1896, p. 231. 
