eg a x 4 
Sulle superficie da determinare non facciamo l’ ipotesi che siano 
‘algebriche; e precisamente manteniamo, rispetto ‘al termine di super- 
ficie e a quello di linea, le convenzioni fatte nella introduzione di 
una mia recente Nota ‘). 
1. — La dimensione dello spazio osculatore generico di una 
superficie Y, che non stia in $; nè sia sviluppabile, è quattro (nel 
qual caso diremo, secondo l’ uso, che F rappresenta un’ equazione di 
Laplace) oppure cinque ?). Fra le superficie escluse si trova subito 
(ricorrendo p. es. all’ osservazione contenuta nella nota 5) di (7')) 
che il nostro problema non ammette se non la soluzione banale dei 
coni (di $, con r> 6, oppure con r= 7, secondochè un piano tan- 
gente e uno $, osculatore generici, oppure due S. osculatori generici 
debbano avere un’intersezione più ampia dell’ ordinario ). Restano 
adunque a considerare i problemi di determinare le superficie F per 
cui hanno un’ intersezione di dimensione maggiore dell’ ordinario 
a) un piano tangenie e uno Sy osculatore generici, 
b) un piano tangente ec uno S; osculatore generici, 
c) due Sy osculatori generici, 
d) due S; osculatori generici. 
Quale potrà essere la dimensione i della intersezione conside- 
rata? Una limitazione si ha dal seguente 
LEMMA. Se gli spazi h- tangenti generici di una superficie EF sono 
degli Sa, e se essi incontrano uno S, fisso in spazi di dimensione 
i>d—bh, la F sta, con lo S,, in uno spazio di dimensione d + p— i 
(cosicchè tutti gli Sa generici di questo spazio ambiente segano lo S în S;). 
Sia infatti C una curva generica di Y, e P un punto generico 
di C. Lo $, osculatore (h-tangente) a C in P sta nello Sg h-tan- 
gente a F in P, insieme collo $; traccia dello S4,su $S,: quindi lo 
S, e lo $; considerati si incontrano in uno Si_a+n almeno, e di 
conseguenza si incontrano almeno in uno S;_ a+ lo Selo $, fisso. 
La curva C è dunque tale che i suoi $, osculatori incontrano uno 
$, fisso in S;, con j>i—d+%h=0, donde segue (pa es. ricorrendo 
a una proiezione di questa curva eseguita dallo $,) che la € sta in 
uno $, p_; per lo $,: ma allora la F stessa sta in uno Sx + p_;j Per 
lo $,, giacchè, presi f —j punti generici di Y che con lo $, indi 
4) Su due problemi, concernenti la determinazione di alcune classi di 
superficie, considerati da G. Scorza e da F. Palatini, nel medesimo vo- 
lume di questi Atti. Citeremo nel seguito questo lavoro colla sigla (T). 
5) Cfr. p. es. la citazione fatta nella nota ?) di (7). 
