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e inoltre le superficie di quegli spazi che rappresentano una equazione 
di Laplace senza essere soluzioni del problema c). 
3. -- Prima di iniziare la risoluzione dei vari problemi enunciati, . 
facciamo alcune osservazioni a cui ricorreremo poi °). Anzitutto, 
data una superficie F, appartenente a $S,, che siafluogo di co! linee 
contenute in altrettanti $,,:, per uno $&, fisso, con 2<p<r —3, 
quand’ è che essa rappresenta un’ equazione di Laplace ? 
Partiamo dalla rappresentazione analitica della superficie, che | 
assumeremo sotto la forma 
Pp 
do (t, to) an Pu(t;); 
dove i punti 4, ....,4, sono assunti in modo generico sullo S, fisso, e 
dove è da intendere che i coefficienti « siano gli stessi in tutte le 
relazioni fra coordinate compendiate in quella scritta. Il punto x e i 
suoi derivati primi e secondi si esprimono come combinazioni lineari 
5 MI 1 Ti) ; sE } 
dei punti 40, ...., 4, % ui È u' Li î quali punti sono linearmente 
indipendenti, perchè, se no, la linea luogo del punto «(7,) avrebbe 
piani osculatori incidenti allo $, fisso, e (insieme con quella linea) 
la superficie risulterebbe immersa in uno spazio di dimensione < p +2 
contro l’ ipotesi. Perciò, se la superficie rappresenta qualche equa- 
, : - 5 SCO 
zione di Laplace, questa lega linearmente i punti DA i x‘ ; e. ciò 
significa che al variare dei parametri 7,, t.,, il punto n° È nel quale 
la retta tangente nel punto x alla linea (dove varia) t, che vi passa 
incontra lo $, fisso, descrive una linea oppure è! fisso. E di qui. 
discende subito che F rappresenta un’ equazione di Laplace, quando. 
le co! linee contenute negli $,,, per lo $, fisso sono rette, oppure. 
quando le sviluppabili circoscritte rispettivamente a quelle oo linee 
segano sullo $, fisso una medesima traccia. Ed è poi [chiaro che 
se F rappresenta più di una equazione di Laplace essa è un cono 
col vertice giacente nello S, . ; 
Proponiamoci ancora la stessa questione per una superficie 
che sia luogo di co’ linee contenute in altrettanti S,+, appartenenti a 
una sviluppabile ordinaria con $, _, fisso, essendo ancora 2<p<r—3. 
Porremo ora (con convenzioni analoghe a quelle di prima). 
ho) = n (T,,T) dr + Y(T Toi) w(T,) +0 (7). 
°) Esse sono da mettere in relazione col n.° 8 di Bompiani: Sul? equa- 
zione di Laplace, Rend. del Circ. Mat. di Palermo, t. XXXIV (1912). . 
