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quello del n.° 4, e cioè stabilire suecessivamente che le linee (Q) 
sono complessivamente solo co!, che lo S, osculatore a F nei singoli 
punti di una di esse è fisso, che le linee (@) sono situate nei sin- 
goli $, di una sviluppabile ordinaria, e finalmente che questi S, 
passano per uno stesso piano. La superficie Y è dunque costituita 
da cal curve (eventualmente piane, ma non rette) situate in altret- 
tanti S, per un piano fisso. Viceversa è chiaro che una superficie 
siffatta risolve effettivamente il problema d), salvo il caso in cui 
venga a rappresentare un’ equazione di Laplace: il modo di escludere 
questa eventualità è stato assegnato al n.° 3. 
Se invece gli S, del tipo 7[@Q]; sono co’, dico intanto che le 
linee. |P} sono co°. Si osservi anzitutto che (chiamando y il piano 
tangente a F nel suo punto @), secondo quanto si è visto al n.° 2, 
la varietà G, ammette come tangente in tutti i punti generici di 
uno $, Py lo S,T7[Q];. Segue allora che lo spazio di contatto di uno 
di questi S, è uno $,, il quale contiene, col piano yx, tutti i punti 
di una linea dei passanti per P (mentre i piani tangenti a 7 in 
tutti questi punti stanno nello $,). Perciò non possono le linee (Pi 
essere in tutto solamente co', perchè ciascuna di esse verrebbe a 
stare in uno $, con un piano tangente generico di F: ma allora, 
non potendo il suo spazio di appartenenza ‘$; incontrare in più 
di un punto un piano tangente generico, nè ridursi d’altra parte 
ad una retta, si avrebbe è = 2; e finalmente lo spazio, di dimensione 
<5, dei piani « e £ di due curve | PI generiche sarebbe incontrato 
dai piani tangenti generici di # in (almeno) due punti distinti 1) 
(uno su « e uno sug) e— v.il n.° 1— si avrebbe r < 6. Nè possono 
d’ altra parte le linee iP| essere co. Infatti, se così fosse, presi su 
F tre punti generici, per essi passerebbe qualche linea (i ei piani 
tangenti in essi alla Y starebbero in uno spazio di dimensione < 7; 
ma allora; — cfr. il $ 2 di (7) — la_F, in quanto non rappresenta 
equazioni di Laplace, sarebbe la F* di S; algebrica razionale rap- 
presentabile su un piano mediante il sistema lineare di quartiche 
con due punti doppi fissi, mentre è chiaro (p. es. appunto sulla rap- 
presentazione piana) che questa superficie non risolve il problema d). 
Si osservi inoltre che il ragionamento col quale si è escluso che le 
1!) Qualora questi punti coincidessero, « e è avrebbero in comune qual- 
che punto; e precisamente, se ne avessero uno solo, per esso passerebbero 
tutti i piani tangenti di Y, che risulterebbe un cono; se avessero in co- 
mune una retta, Y rappresenterebbe ancora (almeno) un’ equazione di 
Laplace. 
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