mo: 
n: 
È 
N° 
x 
A 
non può essere uno $,; perchè, se fosse tale, coinciderebbe con [Po 
dimodochè questo spazio, stando in uno $; con y, incontrerebbe 
tutti.i piani tangenti di /, e questa superficie risolverebbe il pro- 
blema c,) anzichè il problema c,). Perciò quello spazio è uno 4,, il 
| che significa che il ramo passante per P della linea Y definita da P 
e Q coincide con una linea caratteristica **) di Y (per l’ equazione 
di Laplace rappresentata da questa superficie). 
La F possiede dunque un sistema co! di linee, siano le linee 0, 
tali che i piani tangenti a Y nei singoli punti di due linee ® gene: 
riche stanno in uno &; e gli $, osculatori in quei medesimi punti 
stanno in uno S;. Lo spazio osculatore a F lungo una linea ® 
(cioè lo spazio degli $, osculatori nei singoli punti di una 
linea 09) è perciò uno $S, oppure uno $,, perchè, se avesse di- 
mensione > 5, sarebbe incontrato almeno in un piano da ogni 
ulteriore S, osculatore generico di Y (insieme col quale sta in 
uno S;); e ciò, secondo ii Lemma del n.° 1, condurrebbe a un valore 
di r minore del supposto. Nel primo caso, tre linee 0 consecutive 
stanno in uno $,, e, di conseguenza, due linee ® consecutive in uno 
spazio di dimensione <3, e perciò proprio tre; donde finalmente 
segue che le linee ® giacciono nei piani di una sviluppabile ordi- 
naria; e questa, dovendo i suoi $, incontrarsi a due a due in un 
punto, ha un punto fisso. Nel secondo caso, tre linee © consecutive 
stanno in uno $;, e quattro linee ® consecutive in uno spazio di 
dimensione <6 e perciò proprio sei; infine le linee ® risultano 
contenute nei singoli S, di una sviluppabile ordinaria che, dovendo 
i suoi $, stare a due a due in uno &;, risulta dotata di un piano 
fisso. Donde, avuto riguardo al n.° 3, e con una immediata verifica, 
sì conclude che le superficie che risolvono il problema cy) sono le oo 
di linee (eventualmente rette ) in altrettanti piani di una sviluppabile 
ordinaria con un punto fisso, non costituenti però una sviluppabile ; 
e quelle superficie luoghi di col linee di altrettanti Ss per un piano 
fisso che rappresentano una (sola) equazione di Laplace, (per la loro 
costruzione v. il n.° 3), lo spazio di appartenenza avendo in ogni caso 
dimensione > 9- 
7. — IL PROBLEMA d,). — Procedendo come nel primo capoverso 
del n.° precedente, e in base alla proprietà stabilita nel n.° 2 rela- 
tivamente alla varietà E (che ora ha dimensione nove, mentre r > 10) 
si conchiude l’esistenza su # di un sistema co? di linee Y tali che 
18) Cfr. SEGRE cit. nella nota 1) di (T), v. i nn? 14-15. 
