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SE) 
Nei punti: di una linea ® non solo sono soddisfatte le (6), ma è 
addirittura R=0. Supponiamo anzitutto !8) che il sistema di equa- 
zioni (nelle coordinate di punto) R =0 sia una conseguenza delle (6): 
si ricava facilmente !?) che, in tale ipotesi, nel punto di U(X) in cui 
si annullano le derivate terze della 9 — cioè in P(Y) — si annul- 
lano anche le derivate quarte. E ciò equivale a dire che ogni deri- 
vata quarta della p si esprime come combinazione lineare della 9 e 
delle sue derivate prime, seconde e terze, e che perciò (si rifletta 
anche qui alla figura duale) tutti gli Ss V(Z) passano per un mede- 
Simo punto, Da questo punto, comune altresì agli co? 8, U(®),la F si 
proietta in una superficie di $$, dotata di co? linee spaziali, dimodochè 
la 7 sta su un cono V;° proiettante da un punto una superficie 
di Ss algebrica razionale rappresentabile su un piano. mediante il 
sistema delle curve di terz’ ordine. E una tale Y (purchè apparte- 
nente a S,, e non cono) soddisfa effettivamente al problema d,) Se 
invece la &—=0 non è conseguenza di (6), nel qual caso essa rap- 
presenta una linea algebrica eventualmente riducibile, e degli even. 
tuali punti isolati, 2 è essa stessa algebrica, e algebrica è pure la F. 
Se l'ordine di una linea XY è >4, siccome essa sta sul cono cubico 
UO e, fuori del suo vertice, incontra ogni sua generatrice gene- 
rica in non più di un punto — comeè chiaro facendo coesistere, in 
_U(%), le (5) con R=0— (e perciò proprio in un punto), essa ha 
in P(X) un punto di moltiplicità > 1. Se daunque P(X) è variabile 
con S, e così si deve supporre se non si vuole ricadere sul caso già 
trattato, le 2 costituiscono un sistema di grado >2, due $,U(2) 
generici si tagliano almeno in una retta (anzi proprio in una retta, 
poichè ciò vale per due $, infinitamente vicini), e infine da uno 
generico fra questi S, la F si proietta su uno $; secondo una super- 
ficie °°) dotata di co° linee piane irriducibili costituenti un sistema 
di grado > 2, ciò che è assurdo. Resta l’ ipotesi che le linee Y siano 
d’ordine 4, e costituiscano una rete omaloidica: allora però un 
CL) 
18) Nel n° 4 della nota citata in !”"), e nel n.° 5 di quella citata nella 
nota ?) di (7), il Prof. SEGRE risolve problemi analoghi a quello cui si 
riduce il nostro in questa ipotesi, ma seguendo un’altra via. 
19) P. es. così: sulla retta di U(Z) rappresentata da (2,1)=(1,2)=(0,3)=0 
(lungo la quale la (6) è soddisfatta), e perciò anche in P(£) risulta 
Moi (13) = analogamente si ricava che in Pi ie0)= 0,10. 
‘Finalmente sulla retta (3,0) =(2,1)=(1,2)=(0,3) si ha (4,0) —3(3,1) + 
+3(2,2) — (1,3)=0 e perciò in P(2) è anche (2,2)= 0. È 
2°) Si verifica subito che la proiezione non può ridursi a una linea. 
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