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opportuna del sistema delle coordinate curvilinee, si può supporre i 
che la (7) si riduca alla 
ar + a,x" + ag at = bg + ba” ni ED, 
Formando allora le (7,) e (7,),i coefficienti dei loro primi membri 
devono essere identicamente nulli (e allora sappiamo già che si 
giunge effettivamente alla conclusione enunciata), perchè se no ogni 
piano tangente generico di F avrebbe un punto (almeno e non più) 
in comune p. es. con ogni spazio del tipo salle sé 
tutti questi spazi avrebbero in comune uno $; incidente a tutti i piani 
tangenti; ma, non rappresentando Y delle eq. di Lap., i=> 2, e per 
i = 2 gli S. osculatori di 7 conterrebbero quel piano fisso; infine, 
anche per £ > 2 due $. osculatori avrebbero un’ intersezione. troppo 
ampia. Analogamente, mediante un’ opportuna forma canonica per 
la (7), si tratta il caso in cui a oil | 
i Eseludendo d’ ora in poi le superficie del tipo già trovato, sup- 1 
‘| poniamo però ora che la 7 rappresenti qualche equazione (lineare 
alle derivate parziali ) del terz’? ordine. Dico anzitutto che uno $; oscu- 
latore e uno Sw 3-tangente di generici stanno in un $£, (non 
possono stare in uno spazio meno ampio, che, per un motivo già ; 1 
indicato, verrebbe a contenere tutta 7). Infatti, in virtù di una 
osservazione dianzi fatta, si ba w= 7, oppure w= 8. Per w=7, basta 
osservare che due almeno fra i tre primi membri delle (7}, (7,), (73) 
sono ora linearmente indipendenti, e che perciò’ uno/S; osculatore | 
generico di Y ha in comune una retta almeno con un S, 3-tangente 
generico. Per w—=8, se i tre primi membri di quelle relazioni sono 
linearmente indipendenti, si conclude subito analogamente. Se no, «A 
facciamo di quelle tre equazioni quella combinazione lineare in cui | 
i coefficienti del primo membro vengono ad annullarsi tutti quanti: 
essa conduce a un’ equazione del terz’ ordine rappresentata dalla 7, 
la cui forma cubica binaria associata (relativa ai valori 7,,7, delle i 
coordinate curvilinee) contiene il fattore quadratico 
1211] 
(8) Dn 6+d,, Aa 6 
(dove, com’ è chiaro, si chiamano É,, 8, le variabili omogenee delle 
forme cubiche associate alle equazioni del terz? ordine rappresen- 
tate da 7). Ora, come sappiamo, la forma (8) varia in modo essen- 
ziale*colla coppia di variabili 7,, t, (di cui sono funzioni i suoi 
