ia pg Î 
foesicienit| Lo stesso vale dunque per l’ equazione del terz? ordine 
trovata. Ma ciò è contradditorio coll’ attuale ipotesi w= 8. 
 Introduciamo ora la varietà H generata dagli S; congiungenti i 
singoli piani tangenti ai singoli $; osculatori di F. Mediante con- 
siderazioni del tutto analoghe a quelle del n.° 2, si trova che la sua 
dimensione 4 è (sempre) uguale a quella dello spazio che contiene 
due piani tangenti generici infinitamente vicini e due $, osculatori 
generici infinitamente vicini di F. I primi tre fra questi spazi in- 
dividuano ora uno $,, che non può contenere anche il quarto (se 
no sarebbe » = 10); quindi f = 11, e allora l’ osservazione enunciata 
al principio del capoverso precedente mostra che X=11; inoltre la 
H,, risulta toccata da un medesimo $,, in tutti i punti generici di 
un suo $; generatore, e precisamente dallo S,, | P]}:[Q]o °°) lungo 
lo Ss t[Q];. D'altra parte, proiettiamo la F (su uno spazio conve- 
niente) una volta da un sno Sn 3-tangente generico, e una volta da 
un suo $S; osculatore generico. La prima volta si ottiene, dipenden. - 
‘temente dal valore di w, una superficie sviluppabile oppare una 
linea; la seconda volta si ottiene una superficie i cui spazi 3-tan- 
genti sono degli $, (senza che essa stia in uno $;) cioè 26) una 
superficie luogo di co! linee. in altrettanti piani di una sviluppabile 
ordinaria, e perciò tale da avere solamente oo! $; 3-tangenti. Da. 
tutto ciò risulta che, presi su F due punti generici P, @, lo S, 
[P};[Q]» contiene gli S; osculatori di-7 nei singoli punti di una 
linea passante per P e gli Sv 3-tangenti nei singoli punti di una 
linea (Q) passante per Q. Donde si trae — cfr. il n°6— che la H,, 
ha oc? $S, tangenti, che lo S, di contatto di uno di questi contiene 
gli S, osculatori di Y nei punti di una linea (@), che le linee (@) 
sono complessivamente solo 00), e che la dimensione dello spazio 
3-tangente a F lungo una linea (Q) è <8, e perciò sefte oppure 
otto. D’ altra parte lo spazio osculatore lungo una tale linea ha 
almeno dimensione sei, perchè se no ne seguirebbe w< 7 e perciò 
mella prima alternativa proprio uguale a sei, donde segue subito 
che in tal caso la Y è luogo di co! linee in altrettanti $, di una 
sviluppabile che (dovendo i suoi $, incontrare in rette gli $S. oscu- 
latori di 7) risulta dotata di un piano fisso. Nella seconda alternativa 
25) Conformemente alla notazione già adottata per gli S, ‘osculatori, 
indichiamo con [Qlo lo Sw 3-tangente alla F in un suo punto Q. 
26) Cfr. BOMPIANI: Determinazione delle superficie integrali d’un sistema 
di equazioni a derivate parziali lineari ed omogenee, Rend. del R. Istit. 
Lombardo di Scienze e Lettere, vol. LII (1919), v. il Cap. I $ 3. 
