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gli \S, congiungenti rispettivamente i piani tangenti @ Pin P e o i 
coi piani tangenti nei punti che ad essi sono infinitamente vieini 
sulla linea Y passante per P, Q, si incontrerebbero. almeno in una 
retta, che sarebbe pure comune a [P];,[Q]}:;. E lo spazio che oscula 
F lungo una linea Y sta in oo! $, distinti, ed è perciò uno di, 
oppure uno $,, (non uno spazio meno ampio, perchè due $; oscu- 
latori generici di Y risulterebbero allora incidenti in più di un punto). 
‘Ma la seconda alternativa va esclusa, perchè con un ragionamento 
del tutto analogo a quello del n.° 7, terzo capoverso (ora semplificato 
perchè si suppone w= 9) porta a concludere r < 12: 
Orbene, si proietti la F su uno S,_; dà uno spazio [P]}; oscu- 
latore generico: la proiezione è una superficie F' rappresentante . 
una (sola) equazione di Laplace e tale che, in virtù di quanto 
precede, lungo ogni linea Y° proiezione di una linea 2 passante per 
P, è toccata °°) e osculata rispettivamente da uno $; e da uno $;. 
La prima proprietà porta a concludere che Y' è rigata oppure luogo 
di oo) linee piane (non rette) in altrettanti piani di una sviluppa- 
bile, e la seconda porta a escludere la seconda eventualità. Quindi, 
tornando a F, si trova che ogni linea © sta in uno S, collo S; oscu- 
latore a F in un punto generico di quella linea. Perciò, lo spazio 
cui appartiene una linea Y generica non puòd'avere dimensione è > 4, 
giacchè in tal caso esso sarebbe segato dagli $; osculatori di F in > 
due punti generici di quella linea secondo due $; _ », i quali si seghe- 
rebbero alla loro volta almeno secondo nno $;_,, cioè due $; oscu- 
latori generici di Y avrebbero più di un punto in comune. E poichè 
sappiamo già che è > 4, coneludiamo che é = 4. 
Ricorriamo ancora, per l’ ultima volta, a una proiezione della F, 
e precisamente, proiettiamola dallo $,7 di una linea ® su uno $,_5 
Lemma) essere incontrati da ogni S; osculatore di F' in uno stesso piano, 
e perciò tutti quegli S, avrebbero in comune almeno uno S4, ciò che si 
verifica subito essere assurdo: Se invece {= 5, gli S5 tangenti a Y lungo 
due linee | PI consecutive incontrerebbero uno S, osculatore secondo due 
rette incidenti, e perciò lo spazio di intersezione di quei due S;, che sarebbe! 
necessariamente un piano, incontrerebbe ogni S; osculatore di Y. E di qui 
seguirebbe (si pensi alla proiezione di X eseguita da uno di questi piani 
su uno S,_3) che / rappresenterebbe qualche equazione del terz’ ordine, 
oppure che i suoi S, 3-tangenti conterrebbero tutti quei piani e perciò 
tutta /. È 
29) Si osservi che lo ,S tangente a alii una linea 2 generica per P 
non contiene [P], — se no F risolverebbe il problenia di) —, ma sta con 
questo spazio in uno Sy. 
ti ini ii i 
