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| generico: la proiezione è ora una superficie 7?) appartenente 
almeno a uno $;, dotata di co° linee 2 (rami) appartenenti, ciascuna, 
al massimo a uno $,, dunque proprio a uno $, (e le linee 2' sono 
03 sghembe). Donde intanto segue che gli $, di due linee Y gene- 
riche, e perciò anche due linee ® generiche si tagliano in un solo 
punto. Inoltre, le linee Y sono proiezioni semplici (e non multiple) 
delle linee ® di /: invero, se così non fosse, preso un punto gene- 
rico di F fuori di o, sia A, lo S, cA dovrebbe contenere ulterior- 
mente qualche punto di ognuna delle co! linee È passanti per A: 
ora un tale punto non potrebbe essere lo stesso per tutte le co! 
‘linee 2 per A (se no, avuto riguardo al modo con cui si comportano 
le 2° su Y', ne scenderebbe che la retta congiungente A con quel 
punto si appoggerebbe allo S, di ogni linea Y, e / ‘starebbe 35 
. nello S; determinato da due fra questi .S,), mentre nell'ipotesi opposta 
lo $. proiettante c A conterrebbe una linea di 7, la quale non po- 
trebbe essere fissa al variare di A (ciò che importerebbe essere fisso 
quello $, proiettante), ma nemmeno variabile perchè F' si ridur- 
rebbe a una linea. E tutto ciò, avuto riguardo al fatto che le linee % 
sono algebriche *), prova che esse sono €‘ di $S,, costituenti un 
sistema omaloidico, e che Y è una superficie di S, o di S,,, alge- 
brica razionale rappresentabile su un piano con un sistema li- 
neare col! 0 co! di curve di quart’ ordine. 
‘Con una immediata inversione dei vari risultati stabiliti in 
questo n.°, coneludiamo che le superficie apparienenti a S, con 
tr >13 che risolvono il problema dz) sono : 
_ le superficie?) situate su un cono protettante da un punto una 
superficie di S,_; rappresentante una (sola )Y equazione di Laplace, senza 
che esse rappresentino alcuna equazione di Laplace ; La 
so 30) Se essa si riducesse a una linea, F sarebbe luogo di linee in $5 per 
«uno , fisso e rappresenterebbe delle equazioni del terz’ ordine. 
31). Si tenga presente che "I co? $, delle linee Z non passano per un 
medesimo punto. 
3?) Ciò si verifica p. es. così: lo 64 di una linea X è incontrato da 
ciascuno degli analoghi S, infinitamente vicini in un punto solo (perchè 
lungo ogni linea X la Y è toccata da uno Sg ma ‘non da uno spazio meno 
ampio); perciò la varietà focale di quello .S, (entro la co? degli S, delle 
linee 2) è una linea — di cui fa parte 2 — che, mediante una rappresen- 
tazione analitica degli co? S4 considerati affatto analoga a quella adope- 
rata nella Osservazione del $ 1 di (T), si trova essere algebrica. 
33) Sottintendiamo naturalmente, qui e in seguito, che si DICE di su- 
perficie degli spazi considerati. 
