1882.] 



deriving formulas in Elliptic Functions. 



187 



Thus for example, in the formula 



sn (w — x) sn (y — z) + sn (iu — y) sn (z — x) + sn (iv — z) sn (x — y) 

 -t- k 2 sn (to — x) sn (w — y) sn (iv — z) sn (7/ - z) sn (3 — x) sn (x-y) = 0, 



we put & = 1, giving 



sn t (w — a?) sn, (?/ — z) + sn, (w - y) sn, (z — x) + sn, (w — z) sn, (a; — #) 

 + sn, (w — a;) sn, (w — y)sn, (mj — z) sn, (y — ^sn, (z - x)sn 1 (x - y) = 0, 



whence we have 



sn (?# — x) sn (w + a?) sn (y — z) sn (y + z) 

 + sn (iv — y) sn (w + y) sn (# — x) sn (2 + a 1 ) 

 + sn (iv — 2) sn (iv + z) sn (x — y) sn (a; + y) 

 -f k* sn (w — x) sn (w + x) sn (10 — y) sn (w + 3/) sn (iv — z) sn (w + z) 

 x sn (y — z) sn (y + ^) sn (2 — x) sn (^ + a;) sn (x — y) sn (x + y) = 0. 



We may replace the twelve arguments y— z, y + z, &c. by their 

 equivalents in the following system of equations : 



y — z = /3 — <y, z — x — y — ol, x — y = a—/3 > 



y + z — 8 — a, z + x = 8 — /3, x + y= 8 — 7, 



w — x=(3 + y, io—y = y + a, w — z = a + /3, 



iv + x = 8 + a, w + y = 8-\-/3, iv + z = 8 + 7 ; 



and it therefore follows that, in any formula involving the three 

 arguments y — z, z — x, x—y, or the six arguments y — z, z—x, 

 x — y, w - x, iv — y, w — z, we may replace 



sn 

 sn 

 sn 



sn 

 sn 



sn 



y - z) by k sn (/3- 7) sn (5 - a), 



z—x) „ k sn (7 — a) sn (8 — /3), 



x — y) „ £sn (a — /3) sn (8 — 7), 



w— x) „ k sn (ft + 7) sn (8 + a), 



w — y) „ k sn (7 + a) sn (8 + /3), 



iv — z) „ k sn (a +/3) sn (8 + 7). 



Thus for example from the formula 



sn (w — y) sn (w — z) sn (y — z) + sn (w — z) sn (w — x) sn (z — x) 

 + sn (iv — x) sn (iv — y) sn (x — y) + sn (y — z) sn (z — x) sn (x — y) = 0, 



we derive 



sn (/3 — 7) sn (7 + a) sn (a + /3) sn (8 — a) sn (8 + /3) sn (8 + 7) 

 + sn (7 -a) sn (a + /3) sn (/3 + 7) sn (8 + a) sn (8 - (3) sn (8 + 7) 

 + sn (a — /3) sn (/3 + 7) sn (7 + a) sn (8 + a) sn (8 + /3) sn (8 — 7) 

 + sn (/3 — 7) sn (7 — a) sn (a — /3) sn (8 — a) sn (8 — /3) sn (8 — 7) = 0. 



14—2 



